Mavzu bo'yicha taqdimot: Yig'indi qoidasi - qo'shish va chiqarib tashlash formulasining alohida holati. Agar biz A va. To'rt xonali sonlar nechta?
Ko'pgina kombinatsion masalalarda bizni qiziqtiradigan variantlar sonini to'g'ridan-to'g'ri topish qiyin bo'lib chiqadi. Biroq, muammoning shartlarini biroz o'zgartirish bilan siz asl nusxadan ma'lum bir necha marta oshib ketadigan bir qator variantlarni topishingiz mumkin. Ushbu texnika deyiladi ko'p sonli hisoblash usuli.
1. KLASS so‘zining nechta anagrammasi bor?
Qiyinchilik shundaki, bu so'zda ikkita bir xil C harfi mavjud. Biz ularni vaqtincha boshqacha ko'rib chiqamiz va C 1 va C 2 ni bildiramiz. Shunda anagrammalar soni 5 ga teng bo'ladi! = 120. Ammo C 1 va C 2 harflarini qayta joylashtirish orqali bir-biridan farq qiladigan so'zlar aslida bir xil anagrammadir! Shuning uchun 120 ta anagramma bir xil juftliklarga bo'linadi, ya'ni. kerakli anagramma soni 120/2 = 60.
2. CHARADA so‘zi nechta anagrammaga ega?
Uchta A harfini har xil A 1, A 2, A 3 harflari deb hisoblasak, biz 6 ga erishamiz! anagrammalar Ammo A 1, A 2, A 3 harflarini qayta joylashtirish orqali bir-biridan yasalgan so'zlar aslida bir xil anagramdir. Chunki 3 tasi bor! A 1, A 2, A 3 harflarining almashinishi, dastlab olingan 6! Anagrammalar 3 ta guruhga bo'lingan! bir xil va turli xil anagramlar soni 6 ga teng!/3! = 120.
3. Kamida bitta juft raqamli nechta to‘rt xonali son bor?
Keling, faqat toq raqamlarni o'z ichiga olgan "keraksiz" to'rt xonali raqamlar sonini topamiz. 5 ta 4 = 625 ta bunday raqamlar mavjud, ammo jami 9000 ta to'rt xonali raqamlar mavjud, shuning uchun "kerakli" raqamlar soni 9000 - 625 = 8375 ni tashkil qiladi.
- VERESK, BALAGAN, CITYMAN so'zlari uchun anagrammalar sonini toping.
- BAOBAB, BALLAD, QURILISH, ANAGRAM, MATEMATIKA, KOMBİNATORIKA, HIMOYA so‘zlari uchun anagrammalar sonini toping.
- 7 ta tashrif buyuruvchini uchtadan necha usulda joylashtirishingiz mumkin mehmonxona xonalari: bitta, ikki va to'rtlik?
- Muzlatgichda ikkita olma, uchta nok va to'rtta apelsin bor. To'qqiz kun ketma-ket har kuni Petyaga bir bo'lak meva beriladi. Buni necha usulda qilish mumkin?
- Maktabning ettita eng yaxshi chang'ichisi orasidan shahar musobaqalarida qatnashish uchun uch kishidan iborat jamoa tanlanishi kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?
- Imtihon oldidan professor imtihon topshiruvchilarning yarmiga yomon baho qo‘yishga va’da berdi. Imtihonga 20 nafar talaba keldi. U o'z va'dasini necha yo'l bilan bajarishi mumkin?
- Beshta A harfidan va uchta B harfidan koʻp boʻlmagan nechta soʻz yasalishi mumkin?
- Shokoladli, qulupnayli va sutli muzqaymoqlar mavjud. Uchta muzqaymoqni necha xil usulda sotib olish mumkin?
- Pitsa tayyorlashda ma'lum bir ta'mni ta'minlash uchun pishloqga turli komponentlar qo'shiladi. Billning ixtiyorida piyoz, qo'ziqorin, pomidor, qalampir va hamsi bor, bularning barchasi, uning fikricha, pishloqga qo'shilishi mumkin. Bill nechta turdagi pitsa tayyorlashi mumkin?
- Jinoiy to‘qnashuv guvohi jinoyatchilarning davlat raqamida T, Z, U harflari hamda 3 va 7 raqamlari bo‘lgan “Mersedes” mashinasida qochib ketganini esladi (raqam avval uch harf, keyin esa uchta raqamdan iborat qatordir). . Bunday raqamlar nechta?
- Qavariqda nechta diagonal bor n-kvadrat?
- Qancha narsa bor? n- raqamli raqamlar?
- Kamida ikkita bir xil raqamga ega boʻlgan nechta oʻn xonali sonlar bor?
- Zar uch marta tashlanadi. Natijalarning barcha mumkin bo'lgan ketma-ketligi orasida oltitasi kamida bir marta aylantirilganlar mavjud. Qanchalari bor?
- Besh xonali nechta sonning yozuvida 1 raqami bor?
- Oq va qora qirollarni bir-biriga urmasdan shaxmat taxtasiga necha usulda joylashtirish mumkin?
- 10800 soni nechta bo'luvchiga ega?
1. Faqat juft raqamlardan foydalaniladigan necha xil to‘rt xonali sonlar bor?
Yechim:
1) birinchi raqam noldan tashqari har qanday juft raqam bo'lishi mumkin (aks holda raqam to'rt xonali bo'lmaydi) - bular jami 2, 4, 6 yoki 8, 4 ta variant
Variantlar |
2) birinchi raqam tanlangan deb hisoblaymiz; Nima bo'lishidan qat'iy nazar, ikkinchi o'rin har qanday juft raqamlar bo'lishi mumkin - 0, 2, 4, 6 yoki 8, jami 5 ta variant:
Variantlar |
3) xuddi shunday biz oxirgi ikki raqamni ham bir-biridan va boshqa raqamlardan (birinchi va ikkinchi) mustaqil ravishda 5 ta usulda tanlash mumkinligini topamiz:
Variantlar |
4) kombinatsiyalarning umumiy soni mahsulotga teng
4·5·5·5 = 500
5) Shunday qilib, to'g'ri javob 3.
2. Hamma raqamlari har xil bo‘lgan nechta to‘rt xonali son bor?
Yechim:
1) birinchi raqam noldan tashqari har qanday raqam bo'lishi mumkin (aks holda raqam to'rt xonali bo'lmaydi), jami 9 ta variant
Variantlar |
2) birinchi raqam deb faraz qilaylik x tanlangan; Har qanday raqam ikkinchi o'rinda bo'lishi mumkin y, bundan mustasno x, jami 9 ta variant (nol ham bo'lishi mumkin!):
Variantlar |
3) uchinchi raqam z u har qanday bo'lishi mumkin, birinchi ikkita o'rinda turgan ikkitasidan tashqari, jami 8 ta variant mavjud:
Variantlar |
4) nihoyat, to'rtinchi raqam qolgan 7 tadan istalgan biri bo'lishi mumkin (teng emas x, y Va z)
Variantlar |
5) kombinatsiyalarning umumiy soni mahsulotga teng
9 9 8 7 = 4536
6) Shunday qilib, to'g'ri javob 2.
3. To‘g‘ri ikkita to‘qqizlik yonma-yon joylashgan necha xil to‘rt xonali sonlar bor?
Yechim:
1) uchta holat mumkin: 99··, ·99· va ··99, bu erda qalin nuqta 9 ga teng bo'lmagan raqamni bildiradi.
2) ushbu holatlarning har biri uchun siz variantlar sonini hisoblashingiz va bu raqamlarni qo'shishingiz kerak
3) 99·· variantida oxirgi ikki raqam toʻqqizdan tashqari hamma narsa boʻlishi mumkin (har biri 9 ta variant):
Variantlar |
shuning uchun jami 1 1 9 9 = 81 variantni olamiz
4) ·99· variantida birinchi raqam nol va toʻqqiz boʻlishi mumkin emas (8 ta variant qoladi), oxirgi raqam esa toʻqqizdan (9 ta variantdan) boshqa har qanday raqam boʻlishi mumkin:
Variantlar |
shuning uchun jami 8 1 1 9 = 72 variantni olamiz
5) ··99 variantida birinchi raqam nol va to‘qqiz bo‘lishi mumkin emas (8 ta variant qoladi), oxirgi raqam esa to‘qqizdan (9 ta variantdan) boshqa har qanday raqam bo‘lishi mumkin:
Variantlar |
shuning uchun jami 8 9 1 1 = 72 variantni olamiz
6) variantlarning umumiy soni yig'indiga teng
81 + 72 + 72 = 225
4. Ikki xil raqamidan ko‘p bo‘lmagan necha xil to‘rt xonali sonlar mavjud?
Yechim:
1) birinchi raqamni bilan belgilaymiz x, u nolga teng bo'lishi mumkin emas, shuning uchun 9 ta variant mavjud
Variantlar |
2) boshqa sonni bilan belgilaymiz y, uni 9 usulda ham tanlash mumkin (u nolga teng bo'lishi mumkin, lekin teng bo'lishi mumkin emas). x)
3) uchta holat alohida ko'rib chiqilishi kerak: xy··, xxy· Va xxx·; ushbu holatlarning har biri uchun siz variantlar sonini hisoblashingiz va bu raqamlarni qo'shishingiz kerak
4) variantda xy·· oxirgi ikki raqam (bir-biridan mustaqil) teng bo'lishi uchun tanlanishi mumkin x yoki y(har biri 2 ta variant):
x yoki y | x yoki y |
|||
Variantlar |
shuning uchun jami 9 9 2 2 = 324 variantni olamiz
5) variantda xxy· oxirgi raqam faqat ga teng bo'lishi mumkin x yoki y(2 variant):
x yoki y |
||||
Variantlar |
shuning uchun jami 9 1 9 2 = 162 variantni olamiz
6) variantda xxx· oxirgi raqam har qanday bo'lishi mumkin (10 ta variant):
x yoki y |
||||
Variantlar |
shuning uchun jami 9 1 1 10 = 90 ta variantni olamiz
7) variantlarning umumiy soni yig'indiga teng
324 + 162 + 90 = 576
8) Shunday qilib, to'g'ri javob 3.
5. Hamma raqamlari toq va kamida bittasi 5 ga teng bo‘lgan nechta turli to‘rt xonali sonlar mavjud?
Yechim (1-variant):
1) to'rtta variantni ko'rib chiqing: 5···, ·5··, ··5· va ···5; ushbu holatlarning har biri uchun siz raqamni hisoblashingiz kerak noyob variantlari (barcha umumiy bo'lganlar bundan mustasno!) va bu raqamlarni qo'shing
2) 5··· bo'lsa, oxirgi uchta raqam har qanday toq bo'lishi mumkin (har birida 5 ta mustaqil tanlov):
Variantlar |
shuning uchun jami 1 5 5 5 = 125 variantni olamiz
3) bir qarashda ·5·· hol uchun vaziyat bir xil, lekin unday emas; haqiqat shundaki, bu variantlardan ba'zilari (birinchi o'rinda 5 ta) allaqachon birinchi guruh 5··· ga kiritilgan, shuning uchun ularni ikkinchi marta hisobga olishning hojati yo'q; Bu shuni anglatadiki, birinchi o'rin 4 ta raqamdan biri bo'lishi mumkin - 1, 3, 7 yoki 9:
Variantlar |
jami 4 1 5 5 = 100 ta variantni olamiz
4) ··5· ni ko'rib chiqsak, beshlar birinchi ikki o'rinda bo'lgan barcha variantlarni tashlashingiz kerak.
Variantlar |
jami 4 4 1 5 = 80 ta variantni olamiz
5) ··5· uchun biz ham xuddi shunday olamiz
Variantlar |
jami 4 4 4 1 = 64 variantni olamiz
6) variantlarning umumiy soni
125 + 100 + 80 + 64 = 369 ta variant
7) Shunday qilib, to'g'ri javob 2.
Yechim (2-variant):
1) faqat toq raqamlardan iborat barcha raqamlarni ikki guruhga bo'lish mumkin: beshdan iborat bo'lganlar va bo'lmaganlar.
2) birinchi ko'rib chiqilgan masalaga o'xshash faqat toq raqamlardan iborat bo'lgan sonlarning umumiy sonini topamiz; ular orasida nol yo'qligini hisobga olsak, olamiz
5 5 5 5 = 625 ta variant
3) endi xuddi shunday, biz faqat 1, 3, 7 va 9 raqamlaridan tashkil topgan sonlar sonini topamiz (beshsiz); chunki 4 ta joyning har biri 4 ta raqamdan birini o'z ichiga olishi mumkin, biz olamiz
4·4·4·4 = 256 ta variant
4) bizga kerak bo'lgan natija - bu farq
625 – 256 = 369 variant
5) Shunday qilib, to'g'ri javob 2.
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:
1) Toʻgʻri ikkita sakkiztasi qoʻshni boʻlmagan nechta toʻrt xonali son bor?
2) Har xil juft raqamlardan nechta to'rt xonali sonlar tuzilgan?
3) Kamida bitta juft raqami bo'lgan nechta to'rt xonali son bor?
4) 5 ga bo'linadigan nechta to'rt xonali son bor?
5) 3000 dan oshmaydigan nechta to'rt xonali sonlar bor, ularda aniq ikkita "3" raqam mavjud?
6) Shaxmat chempionatida 40 nafar sportchi ishtirok etdi. Har biri bir-biri bilan bitta o'yin o'ynadi. Hammasi bo'lib nechta o'yin o'tkazildi?
7) Vazoda olma, nok, shaftoli va o'rik bor. Katyaga ikkita meva tanlashga ruxsat berildi. Katyaning nechta varianti bor?
9) “chapdan o‘ngga” va “o‘ngdan chapga” bir xil o‘qiladigan nechta to‘rt xonali sonlar bor?
10) Uchta boncuk zanjiri bo'yicha hosil bo'ladi keyingi qoida: Zanjirda birinchi o'rinda boncuklardan biri A, B, C. Ikkinchi o'rinda B, C, D. uchinchi o'rinda boncuklardan biri A, C, D, emas. zanjirda birinchi yoki ikkinchi o'rinda. Jami bunday zanjirlar nechta?
Bu masalada qancha to'rt xonali son borligini aniqlash kerak.
To'rt xonali raqamlar soni
- Keling, nechta to'rt xonali son borligini aniqlaymiz.
- To'rt xonali son - bu to'rtta raqamdan iborat bo'lgan raqam: birliklar, o'nliklar, yuzliklar va minglar. Oddiy so'zlar bilan aytganda To'rt xonali raqam - bu to'liq to'rtta raqamdan tashkil topgan raqam.
- Birinchi ma'lum bo'lgan to'rt xonali raqam 1000.
- Oxirgi ma'lum bo'lgan to'rt xonali raqam 9999.
- To'rt xonali sonlar sonini toping. Ikkita variant mavjud: birinchi 999 natural son oxirgi toʻrt xonali sondan (9999) ayiriladi. Biz olamiz: 9999 - 999 = 9000.
- Ikkinchi usul: 9999 - 1000 + 1 = 9009. Biz bitta qo'shamiz, chunki ming ham to'rt xonali son va uni oddiygina ayirish orqali biz uni jamidan yo'qotamiz.
- Raqamlarning umumiy sonini ham aniqlashingiz mumkin.
Raqamlar sonini aniqlang
To'rt xonali son 4 ta raqamdan, boshqacha aytganda 4 ta raqamdan iborat ekanligi ma'lum bo'ldi. Shuningdek, ma'lum bo'lgan 9000 ta to'rt xonali raqamlar mavjudligi taxmin qilingan. Keyin biz olamiz: 9000 * 4 = 36000.
Javob: Hammasi bo'lib 9000 ta to'rt xonali sonlar bor va ularning hammasini ketma-ket yozsangiz, siz 36 000 raqam olasiz.
Masala 4. Raqamlari har xil bo‘lgan nechta ikki xonali juft sonlar bor?
Yechim. a = a1 a2 barcha raqamlari har xil bo'lgan ikki xonali juft son bo'lsin. Keyin a2 (0,2,4,6,8) va a 1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\(a 2 }.
Agar a1 toq raqam bo'lsa, ya'ni. a1 (1, 3, 5, 7, 9), a1 ning birinchi raqamini 5 ta usulda tanlash mumkinligini topamiz.
Har safar birinchi a1 raqami tanlanganda, ikkinchi raqam a2 5 ta usulda tanlanishi mumkin.
Mahsulot qoidasidan foydalanib, birinchi raqami toq bo'lgan 5 5 = 25 ta ikki xonali juft son mavjudligini aniqlaymiz.
Agar a1 juft raqam bo'lsa, u holda a1 (2, 4, 6, 8) va a 2 (0, 2, 4, 6, 8) \ (a 1), ya'ni. a2 elementini 4 ta usulda tanlash mumkin.
Mahsulot qoidasiga ko'ra, a raqamini 4 4 = 16 usulda tanlash mumkin.
Masala 5. To‘rt xonali sonlar nechta? 5 ga bo'linadi, kimning barcha raqamlari boshqacha?
Yechim. A =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) raqamlar to‘plami, a= a1 a2 a3 a4 to‘rt xonali son bo‘lsin, bunda a1 A\(0) ,
a4 (0,5)\(a1),a2 A\(a1 ,a4),a3 A\(a1 ,a2 ,a4 ).
Agar a4 =0 boʻlsa, a1 ni 9 ta usulda, a2 ni 8 ta usulda, a3 ni 7 ta usulda tanlash mumkin. Mahsulot qoidasidan foydalanib, biz raqamni topamiz
α 9 8 7 = 504 ta usulda olish mumkin. Agar a 4 =5, keyin a1 A\(0, 5 ), ya'ni. a1 raqami bo'lishi mumkin
8 ta usulda tanlansa, a2 raqamini ham 8 ta usulda, a3 raqamini 7 ta usulda tanlash mumkin. Mahsulot qoidalariga muvofiq
a sonini 8 8 7 = 448 ta usulda tanlash mumkinligini topamiz.
Shunday qilib, yig'indisi qoidasidan foydalanib, biz 5 ga bo'linadigan 504 + 448 = 952 to'rt xonali sonlar mavjudligini aniqlaymiz, ularning barchasi turli raqamlarga ega.
Xuddi shu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin.
Juft ikki xonali a = a1 a2 sonini ko'rib chiqaylik, bu erda a1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) va a 2 (0, 2, 4, 6, 8).
5-sinf klubi
Rahbarlar Dmitriy Vladimirovich Trushchin va Mixail Vladimirovich Sheblaev
2012/2013 o'quv yili
Kombinatorika (2012 yil 17 noyabr)
Do‘konda besh turdagi piyola va uch turdagi likopchalar sotiladi. Kosa va likopchani necha xil usulda tanlashingiz mumkin? a) faqat juft raqamlardan iborat nechta to'rt xonali sonlar mavjud; b) kamida bitta juft raqam?Yechim.
a) Keling, avval qora qo'rg'onni joylashtiramiz. Buni 8 · 8 = 64 usulda bajarish mumkin. Oq rookning unga urilishining oldini olish uchun siz uni boshqa darajaga joylashtirishingiz kerak, ya'ni u uchun 8 - 1 = 7 bo'sh daraja bo'ladi va 8 - 1 = 7 vertikal bo'lishi mumkin allaqachon 7 · 7 = 49 yo'l joylashtirilgan qora bilan oq rook qo'yish. Qora qoziqni joylashtirishning 64 ta usulining har biri uchun oq qoziqni joylashtirishning 49 ta usuli bo'lganligi sababli, ikkalasini ham joylashtirish usullarining umumiy soni 64 · 49 = 3136 bo'ladi.
b) Avval qora qirolni joylashtiramiz. Oq rangni o'rnatishning nechta usuli qoladi? Keling, turli xil holatlarni ko'rib chiqaylik:
Bundan tashqari, agar qora qirol taxtaning chetida (burchakda emas) bo'lsa, oq rangni 6 ta katakka qo'yib bo'lmaydi, ya'ni siz 64 - 6 = 58 katakchaga pul tikishingiz mumkin. Doskaning 4 tomonining har birida 8 - 2 = 6 kvadrat mavjud bo'lib, u erda qora qirol chetida turadi, lekin burchakda emas, ya'ni jami 4 6 58 = 1392 ta bunday variantlar bo'ladi. ikkala shohni joylashtirish.
