การนำเสนอในหัวข้อ: กฎผลรวมเป็นกรณีพิเศษของสูตรรวมและสูตรแยก ถ้าเราพิจารณา A และ มีตัวเลขสี่หลักกี่ตัว ปัญหาเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น

ในปัญหาเชิงผสมหลายๆ ปัญหา การค้นหาจำนวนตัวเลือกที่เราสนใจโดยตรงกลายเป็นเรื่องยาก อย่างไรก็ตาม เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขของปัญหา คุณจะพบตัวเลือกจำนวนหนึ่งที่เกินกว่าค่าเดิมตามจำนวนครั้งที่ทราบ เทคนิคนี้เรียกว่า วิธีการนับหลายวิธี.

1. คำว่า CLASS มีกี่อัน?

ปัญหาคือในคำนี้มีตัวอักษร C สองตัวที่เหมือนกัน เราจะพิจารณาว่าแตกต่างกันชั่วคราวและแสดงถึง C 1 และ C 2 จากนั้นจำนวนแอนนาแกรมจะเท่ากับ 5! = 120 แต่คำเหล่านั้นที่แตกต่างกันโดยการจัดเรียงตัวอักษร C 1 และ C 2 ใหม่เท่านั้นที่เป็นแอนนาแกรมเดียวกัน! ดังนั้น 120 แอนนาแกรมจึงถูกแบ่งออกเป็นคู่ที่เหมือนกันนั่นคือ จำนวนแอนนาแกรมที่ต้องการคือ 120/2 = 60

2. คำว่า ชาราดะ มีกี่อัน?

นับตัวอักษร A สามตัวเป็นตัวอักษรต่างกัน A 1, A 2, A 3 เราได้ 6! แอนนาแกรม แต่คำที่สร้างจากกันเพียงจัดเรียงตัวอักษร A 1, A 2, A 3 ใหม่เท่านั้น จริงๆ แล้วเป็นแอนนาแกรมเดียวกัน เพราะมี 3! การเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร A 1, A 2, A 3 เดิมได้รับ 6! แอนนาแกรมแบ่งออกเป็นกลุ่ม 3 กลุ่ม! เหมือนกันและจำนวนแอนนาแกรมที่แตกต่างกันกลายเป็น 6!/3! = 120.

3. มีตัวเลขสี่หลักที่มีเลขคู่อย่างน้อยหนึ่งตัวมีกี่ตัว?

มาหาจำนวนตัวเลขสี่หลักที่ "ไม่จำเป็น" ซึ่งการบันทึกมีเพียงเลขคี่เท่านั้น มีตัวเลขดังกล่าวอยู่ 5 4 = 625 ตัว แต่มีตัวเลขสี่หลักทั้งหมด 9000 ตัว ดังนั้นจำนวนตัวเลขที่ “จำเป็น” ที่ต้องการคือ 9000 – 625 = 8375

1. ค้นหาจำนวนแอนนาแกรมของคำว่า VERESK, BALAGAN, CITYMAN
2. ค้นหาจำนวนแอนนาแกรมสำหรับคำว่า BAOBAB, BALLAD, TURN, ANAGRAM, คณิตศาสตร์, COMBINATORICS, DEFENSE
3. คุณสามารถรองรับผู้เยี่ยมชมได้ 7 คนในสามวิธีได้กี่วิธี ห้องพักของโรงแรม: เดี่ยว สอง และสี่เท่า?
4. มีแอปเปิ้ลสองลูก ลูกแพร์สามลูก และส้มสี่ลูกอยู่ในตู้เย็น ทุกวันเป็นเวลาเก้าวันติดต่อกัน Petya จะได้รับผลไม้หนึ่งชิ้น สามารถทำได้กี่วิธี?
5. จากนักสกีที่เก่งที่สุดเจ็ดคนของโรงเรียน จะต้องเลือกทีมสามคนเพื่อเข้าร่วมการแข่งขันในเมือง สามารถทำได้กี่วิธี?
6. ก่อนสอบ อาจารย์สัญญาว่าจะให้คะแนนแย่ๆ แก่ผู้เข้าสอบครึ่งหนึ่ง มีนักเรียนมาสอบจำนวน 20 คน เขาสามารถทำตามสัญญาของเขาได้กี่วิธี?
7. ตัวอักษร A ห้าตัวและ B ไม่เกินสามตัวสามารถสร้างคำได้กี่คำ
8. มีไอศกรีมช็อกโกแลต สตรอเบอร์รี่ และนมให้บริการ คุณสามารถซื้อไอศกรีม 3 อันได้กี่วิธี?
9. เมื่อเตรียมพิซซ่า ส่วนประกอบต่างๆ จะถูกเติมลงในชีสเพื่อให้ได้รสชาติที่เฉพาะเจาะจง บิลมีหัวหอม เห็ด มะเขือเทศ พริกไทย และแอนโชวี่ให้เลือกใช้ ซึ่งในความเห็นของเขา ทั้งหมดนี้สามารถเพิ่มลงในชีสได้ บิลทำพิซซ่าได้กี่แบบ?
10. พยานในการประลองอาชญากรจำได้ว่าคนร้ายหลบหนีไปในรถ Mercedes ป้ายทะเบียนซึ่งมีตัวอักษร T, Z, U และตัวเลข 3 และ 7 (ตัวเลขคือบรรทัดที่มีตัวอักษรสามตัวตัวแรกแล้วตามด้วยตัวเลขสามตัว) . มีเลขดังกล่าวกี่ตัว?
11. มีเส้นทแยงมุมกี่เส้นในนูน n-สี่เหลี่ยม?
12. มีกี่สิ่ง? n-ตัวเลขดิจิตอล?
13. มีตัวเลขสิบหลักกี่ตัวที่มีตัวเลขเหมือนกันอย่างน้อยสองหลัก?
14. ลูกเต๋าถูกโยนสามครั้ง ในบรรดาลำดับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีลำดับที่หกถูกทอยอย่างน้อยหนึ่งครั้ง มีกี่คน?
15. ตัวเลขห้าหลักที่มีเลข 1 อยู่ในสัญลักษณ์มีกี่ตัว?
16. กษัตริย์ขาวและดำสามารถวางบนกระดานหมากรุกโดยไม่ชนกันได้กี่วิธี?
17. ตัวเลข 10800 มีตัวหารกี่ตัว?

1. มีตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกันกี่ตัวที่ใช้เฉพาะเลขคู่?

สารละลาย:

1) หลักแรกสามารถเป็นเลขคู่ใดก็ได้ยกเว้นศูนย์ (มิฉะนั้นตัวเลขจะไม่ใช่ตัวเลขสี่หลัก) - รวมทั้งหมด 2, 4, 6 หรือ 8, 4 ตัวเลือก

ตัวเลือก

2) สมมติว่าเลือกหลักแรก ตำแหน่งที่สองอาจเป็นเลขคู่ใดก็ได้ - 0, 2, 4, 6 หรือ 8 รวมทั้งหมด 5 ตัวเลือก:

ตัวเลือก

3) ในทำนองเดียวกัน เราพบว่าสามารถเลือกตัวเลขสองตัวสุดท้ายได้ 5 วิธี โดยไม่แยกจากกันและของตัวเลขอื่น ๆ (ตัวแรกและตัวที่สอง):

ตัวเลือก

4) จำนวนชุดค่าผสมทั้งหมดเท่ากับผลิตภัณฑ์

4·5·5·5 = 500

5) ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 3

2. มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดซึ่งแต่ละหลักต่างกัน?

สารละลาย:

1) หลักแรกอาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ยกเว้นศูนย์ (ไม่เช่นนั้นตัวเลขจะไม่เป็นสี่หลัก) รวมทั้งหมด 9 ตัวเลือก

ตัวเลือก

2) สมมติว่าเป็นตัวเลขตัวแรก xเลือก; หมายเลขใดก็ได้สามารถอยู่ในอันดับที่สองได้ ย, ยกเว้น xทั้งหมด 9 ตัวเลือก (ศูนย์ก็สามารถเป็นได้!):

ตัวเลือก

3) หลักที่สาม zอาจเป็นอะไรก็ได้ ยกเว้นสองอันที่อยู่ในสองอันแรกแล้ว มีทั้งหมด 8 ตัวเลือก:

ตัวเลือก

4) สุดท้ายหลักที่สี่สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้จาก 7 หลักที่เหลือ (ไม่เท่ากัน x, ยและ z)

ตัวเลือก

5) จำนวนชุดค่าผสมทั้งหมดเท่ากับผลิตภัณฑ์

9 9 8 7 = 4536

6) ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 2

3. มีตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกันจำนวนเท่าใดที่มีเก้าสองตัวอยู่ติดกันพอดี?

สารละลาย:

1) เป็นไปได้สามกรณี: 99··, ·99· และ ··99 โดยที่จุดตัวหนาหมายถึงตัวเลขบางตัวที่ไม่เท่ากับ 9

2) สำหรับแต่ละกรณี คุณจะต้องนับจำนวนตัวเลือกและเพิ่มตัวเลขเหล่านี้

3) ในตัวเลือก 99·· ตัวเลขสองตัวสุดท้ายสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้นเก้า (ตัวละ 9 ตัวเลือก):

ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราจะได้ 1 1 9 9 = 81 ตัวเลือก

4) ในตัวเลือก ·99· หลักแรกไม่สามารถเป็นศูนย์และเก้าได้ (เหลือ 8 ตัวเลือก) และหลักสุดท้ายสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้นเก้า (9 ตัวเลือก):

ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราจะได้ 8 1 1 9 = 72 ตัวเลือก

5) ในตัวเลือก ··99 หลักแรกไม่สามารถเป็นศูนย์และเก้าได้ (เหลือ 8 ตัวเลือก) และหลักสุดท้ายสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้นเก้า (9 ตัวเลือก):

ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราจะได้ 8 9 1 1 = 72 ตัวเลือก

6) จำนวนตัวเลือกทั้งหมดเท่ากับผลรวม

81 + 72 + 72 = 225

4. มีตัวเลขสี่หลักต่างกันกี่ตัวแต่ไม่เกินสองหลัก?

สารละลาย:

1) เรามาแทนตัวเลขตัวแรกด้วย xไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ จึงมีตัวเลือกที่เป็นไปได้ 9 ตัวเลือก

ตัวเลือก

2) เราแสดงหมายเลขอื่นโดย ยสามารถเลือกได้ 9 วิธี (เป็นศูนย์ได้แต่จะเท่ากันไม่ได้ x)

3) ต้องพิจารณาสามกรณีแยกกัน: เอ็กซ์ซี··, xxy· และ xxx- สำหรับแต่ละกรณี คุณจะต้องนับจำนวนตัวเลือกและเพิ่มตัวเลขเหล่านี้

4) ในตัวเลือก เอ็กซ์ซี·· ตัวเลขสองตัวสุดท้ายสามารถเลือกได้ (แยกจากกัน) ให้เท่ากัน xหรือ ย(อย่างละ 2 ตัวเลือก):

			xหรือ ย	xหรือ ย
ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราจะได้ 9 9 2 2 = 324 ตัวเลือก

5) ในตัวเลือก xxy· หลักสุดท้ายต้องเท่ากับเท่านั้น xหรือ ย(2 ตัวเลือก):

				xหรือ ย
ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราจะได้ 9 1 9 2 = 162 ตัวเลือก

6) ในตัวเลือก xxx· หลักสุดท้ายสามารถเป็นอะไรก็ได้ (10 ตัวเลือก):

				xหรือ ย
ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราจะได้ 9 1 1 10 = 90 ตัวเลือก

7) จำนวนตัวเลือกทั้งหมดเท่ากับผลรวม

324 + 162 + 90 = 576

8) ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 3

5. มีตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกันจำนวนเท่าใด โดยที่ทุกหลักเป็นเลขคี่ และอย่างน้อยหนึ่งหลักมีค่าเท่ากับ 5

วิธีแก้ปัญหา (ตัวเลือก 1):

1) พิจารณาสี่ตัวเลือก: 5···, ·5··, ··5· และ ···5; สำหรับแต่ละกรณีเหล่านี้ คุณจะต้องคำนวณตัวเลข มีเอกลักษณ์ตัวเลือก (ยกเว้นตัวเลือกทั่วไปทั้งหมด!) และเพิ่มหมายเลขเหล่านี้

2) ในกรณีของ 5··· ตัวเลขสามหลักสุดท้ายอาจเป็นเลขคี่ก็ได้ (ตัวละ 5 ตัวเลือกแยกกัน):

ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราจะได้ 1 5 5 5 = 125 ตัวเลือก

3) เมื่อมองแวบแรก สำหรับกรณี ·5·· สถานการณ์ก็เหมือนกัน แต่ไม่ใช่ในกรณีนี้ ความจริงก็คือตัวเลือกเหล่านี้บางส่วน (โดยมี 5 อันดับแรก) ได้รวมอยู่ในกลุ่มแรกแล้ว 5··· ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงพวกเขาเป็นครั้งที่สอง ซึ่งหมายความว่าสถานที่แรกสามารถเป็นหนึ่งใน 4 หลัก - 1, 3, 7 หรือ 9:

ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราได้รับ 4 1 5 5 = 100 ตัวเลือก

4) เมื่อพิจารณากรณี ··5· คุณจะต้องทิ้งตัวเลือกทั้งหมดที่ห้าอยู่ในสองตำแหน่งแรก

ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราได้รับ 4 4 1 5 = 80 ตัวเลือก

5) สำหรับ ··5· เราได้รับในทำนองเดียวกัน

ตัวเลือก

โดยรวมแล้วเราได้รับ 4 4 4 1 = 64 ตัวเลือก

6) จำนวนตัวเลือกทั้งหมด

125 + 100 + 80 + 64 = 369 ตัวเลือก

7) ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 2

วิธีแก้ปัญหา (ตัวเลือก 2):

1) ตัวเลขทั้งหมดที่ประกอบด้วยเลขคี่เท่านั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: กลุ่มที่มีห้าและกลุ่มที่ไม่มีห้า

2) เราค้นหาจำนวนตัวเลขทั้งหมดที่มีเฉพาะเลขคี่คล้ายกับปัญหาแรกที่พิจารณา โดยคำนึงว่าพวกเราไม่มีศูนย์เลย

5 5 5 5 = 625 ตัวเลือก

3) ในทำนองเดียวกัน เราจะพบจำนวนตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลข 1, 3, 7 และ 9 เท่านั้น (ไม่มีห้า) เนื่องจากแต่ละตำแหน่งใน 4 ตำแหน่งสามารถมีตัวเลขหนึ่งใน 4 หลักได้ เราจึงได้

4·4·4·4 = 256 ตัวเลือก

4) ผลลัพธ์ที่เราต้องการคือความแตกต่าง

625 – 256 = 369 ตัวเลือก

5) ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 2

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

1) มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดที่มีเลขแปดสองตัวที่ไม่อยู่ติดกัน?

2) มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดที่สร้างจากเลขคู่ต่างกัน?

3) มีตัวเลขสี่หลักที่มีเลขคู่อย่างน้อยหนึ่งตัวมีกี่ตัว?

4) มีตัวเลขสี่หลักกี่ตัวที่หารด้วย 5 ลงตัว?

5) มีตัวเลขสี่หลักกี่ตัว ไม่เกิน 3000 โดยที่มีเลข “3” สองหลักพอดี?

6) นักกีฬา 40 คนเข้าร่วมในการแข่งขันชิงแชมป์หมากรุก แต่ละคนเล่นเกมกันคนละเกม เล่นไปทั้งหมดกี่เกม?

7) มีแอปเปิ้ล ลูกแพร์ ลูกพีช และแอปริคอทอยู่ในแจกัน คัทย่าได้รับอนุญาตให้เลือกผลไม้สองชนิด คัทย่ามีกี่ตัวเลือก?

9) มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดที่อ่านว่า "จากซ้ายไปขวา" และ "จากขวาไปซ้าย"?

10) โซ่ลูกปัดสามเม็ดถูกสร้างขึ้นตาม กฎถัดไป: อันดับแรกในห่วงโซ่คือหนึ่งในลูกปัด A, B, C อันดับที่สองคือหนึ่งในลูกปัด B, C, D อันดับที่สามคือหนึ่งในลูกปัด A, C, D ไม่ใช่ เป็นที่หนึ่งหรือที่สองในห่วงโซ่ มีโซ่แบบนี้ทั้งหมดกี่อัน?

ในปัญหานี้ คุณต้องพิจารณาว่ามีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใด

จำนวนตัวเลขสี่หลัก

• ลองพิจารณาว่ามีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใด
• ตัวเลขสี่หลักคือตัวเลขที่ประกอบด้วยสี่หลัก ได้แก่ หน่วย สิบ หลักร้อย และหลักพัน ด้วยคำพูดง่ายๆตัวเลขสี่หลักคือตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสี่หลักพอดี
• ตัวเลขสี่หลักตัวแรกที่รู้จักคือ 1,000
• ตัวเลขสี่หลักสุดท้ายที่ทราบคือ 9999
• ค้นหาจำนวนตัวเลขสี่หลัก มีสองตัวเลือก: ตัวเลขธรรมชาติ 999 ตัวแรกจะถูกลบออกจากตัวเลขสี่หลักสุดท้าย (9999) เราได้รับ: 9999 - 999 = 9000
• วิธีที่สอง: 9999 - 1,000 + 1 = 9009 เราบวกหนึ่ง เนื่องจากหลักพันก็เป็นตัวเลขสี่หลักเช่นกัน และเพียงลบออก เราก็จะสูญเสียมันไปจากผลรวม
• คุณยังสามารถกำหนดจำนวนหลักทั้งหมดได้

กำหนดจำนวนหลัก

เป็นที่รู้กันว่าตัวเลขสี่หลักประกอบด้วย 4 หลักหรืออีกนัยหนึ่งคือ 4 หลัก มีการประมาณกันว่ามีตัวเลขสี่หลักที่รู้จักถึง 9,000 ตัว จากนั้นเราจะได้: 9000 * 4 = 36000

คำตอบ: มีตัวเลขสี่หลักทั้งหมด 9,000 หลัก และถ้าคุณเขียนทั้งหมดติดกันคุณจะได้ 36,000 หลัก

ปัญหาที่ 4. มีเลขคู่สองหลักที่มีหลักต่างกันกี่จำนวน?

สารละลาย. ให้ α = α1 α2 เป็นเลขคู่สองหลัก โดยที่ทุกหลักต่างกัน จากนั้น α2 (0,2,4,6,8) และ α 1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\(α 2 }.

ถ้า α1 เป็นเลขคี่ เช่น α1 (1, 3, 5, 7, 9) เราพบว่าสามารถเลือกหลักแรกของ α1 ได้ 5 วิธี

แต่ละครั้งที่เลือก α1 หลักแรก จะสามารถเลือก α2 หลักที่สองได้ 5 วิธี

เมื่อใช้กฎผลคูณ เราพบว่ามีเลขคู่สองหลัก 5 5 = 25 หลักที่หลักแรกเป็นคี่

ถ้า α1 เป็นเลขคู่ ดังนั้น α1 (2, 4, 6, 8) และ α 2 (0, 2, 4, 6, 8) \ (α 1) กล่าวคือ องค์ประกอบ α2 สามารถเลือกได้ 4 วิธี

ตามกฎผลคูณ สามารถเลือกจำนวน α ได้ 4 4 = 16 วิธี

ปัญหาที่ 5. มีตัวเลขสี่หลักกี่ตัว?หารด้วย 5 ลงตัว เลขหลักไหนต่างกันหมด?

สารละลาย. ให้ A =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) เป็นชุดของตัวเลข α= α1 α2 α3 α4 เป็นตัวเลขสี่หลัก โดยที่ α1 A\(0) ,

α4 (0.5)\(α1),α2 A\(α1 ,α4),α3 A\(α1 ,α2 ,α4 )

หาก α4 =0 ดังนั้น α1 สามารถเลือกได้ 9 วิธี α2 สามารถเลือกได้ 8 วิธี และ α3 สามารถเลือกได้ 7 วิธี เมื่อใช้กฎผลคูณ เราจะพบว่าตัวเลขดังกล่าว

α สามารถรับได้ 9 8 7 = 504 วิธี ถ้า α 4 =5 จากนั้น α1 A\(0, 5 ) เช่น หลัก α1 สามารถเป็นได้

เลือกได้ 8 วิธี สามารถเลือกหลัก α2 ได้ 8 วิธี และ α3 ได้ 7 วิธี ตามกฎผลิตภัณฑ์

เราพบว่าสามารถเลือกจำนวน α ได้ 8 8 7 = 448 วิธี

ดังนั้น เมื่อใช้กฎผลรวม เราพบว่ามีตัวเลขสี่หลัก 504 + 448 = 952 หารด้วย 5 ลงตัว ซึ่งทั้งหมดมีตัวเลขต่างกัน

ปัญหาเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น

พิจารณาตัวเลขสองหลักคู่ α = α1 α2 โดยที่ α1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) และ α 2 (0, 2, 4, 6, 8)

สโมสรชั้นประถมศึกษาปีที่ 5

หัวหน้า Dmitry Vladimirovich Trushchin และ Mikhail Vladimirovich Sheblaev
ปีการศึกษา 2555/2556

Combinatorics (17 พฤศจิกายน 2555)

ทางร้านจำหน่ายถ้วยห้าประเภทและจานรองสามประเภท คุณสามารถเลือกถ้วยและจานรองได้กี่วิธี? มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดที่มี ก) ตัวเลขคู่เท่านั้น; b) อย่างน้อยหนึ่งหลัก?

ในทีมฟุตบอลมี 11 คน คุณสามารถเลือกได้หลายวิธี ก) กัปตันและรอง; b) ผู้โจมตีสองคน?บันทึก.

วางชิ้นหนึ่งไว้บนกระดานก่อน สามารถทำได้กี่วิธี? จากนั้น สำหรับแต่ละวิธีเหล่านี้ ให้นับจำนวนวิธีย่อยที่คุณสามารถวางชิ้นส่วนอื่นไว้บนกระดานโดยไม่ชนกันคำแนะนำ 2.

ในข้อ b) พิจารณา 3 กรณีที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับจำนวนช่องสี่เหลี่ยมที่สามารถวางกษัตริย์องค์ที่สองได้

สารละลาย.

ก) มาวางเรือดำกันก่อน สามารถทำได้ 8 · 8 = 64 วิธี เพื่อป้องกันไม่ให้เรือสีขาวโดนมันคุณต้องวางมันไว้ในอันดับและไฟล์อื่นนั่นคือจะมีอันดับอิสระ 8 - 1 = 7 อันดับและแนวดิ่ง 8 - 1 = 7 คุณก็สามารถทำได้เช่นกัน วางโกงสีขาวกับสีดำไว้แล้ว 7 · 7 = 49 วิธี เนื่องจากในแต่ละ 64 วิธีในการวางเรือสีดำ จะมี 49 วิธีในการวางเรือสีขาว ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะวางทั้งสองวิธีจะเป็น 64 · 49 = 3136

b) มาวางราชาดำกันก่อน แล้วจะเหลือวิธีการตั้งค่าสีขาวได้กี่วิธี? ลองดูกรณีต่างๆ:

นอกจากนี้ หากราชาสีดำอยู่บนขอบกระดาน (ไม่ใช่ที่มุม) ก็ไม่สามารถวางสีขาวบน 6 เซลล์ได้ นั่นคือคุณสามารถเดิมพันที่ 64 - 6 = 58 เซลล์ ในแต่ละด้านของกระดานทั้ง 4 ด้านจะมีสี่เหลี่ยม 8 - 2 = 6 ช่อง โดยที่ราชาดำจะยืนอยู่ที่ขอบแต่ไม่ได้อยู่ที่มุมนั่นคือทั้งหมดจะมี 4 6 58 = 1392 ตัวเลือกดังกล่าวสำหรับ วางกษัตริย์ทั้งสอง