ฟังก์ชั่นการวิจัย x 1 x 1 2. บันทึกการเดินทางที่เชี่ยวชาญของฉัน การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ
โซลเวอร์ คุซเนตซอฟ
แผนภูมิที่สาม
ภารกิจที่ 7 ศึกษาฟังก์ชันให้สมบูรณ์และสร้างกราฟ
ก่อนที่คุณจะเริ่มดาวน์โหลดตัวเลือกของคุณ ให้ลองแก้ไขปัญหาตามตัวอย่างที่ให้ไว้ด้านล่างสำหรับตัวเลือกที่ 3 ตัวเลือกบางตัวจะถูกเก็บถาวรในรูปแบบ .rar
7.3 ศึกษาฟังก์ชันอย่างครบถ้วนและวางแผน
สารละลาย.
1) ขอบเขตของคำจำกัดความ: หรือ นั่นคือ 
.
.
ดังนั้น:
2) ไม่มีจุดตัดกับแกน Ox อันที่จริงสมการ ไม่มีคำตอบ
ไม่มีจุดตัดกับแกน Oy เนื่องจาก
3) ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ ไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด นอกจากนี้ยังไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด เพราะ 
.
เราเห็นว่า และ
4) ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ
.
; 
. 
; 
.
ดังนั้น จุด คือจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง (ความไม่ต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุด)
5) เส้นกำกับแนวตั้ง:
ลองหาเส้นกำกับเฉียง ที่นี่
;
.
ดังนั้นเราจึงมีเส้นกำกับแนวนอน: ย=0- ไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียง
6) ลองหาอนุพันธ์อันดับแรกกัน อนุพันธ์อันดับหนึ่ง: 
.
และนี่คือเหตุผล 
.
ลองหาจุดคงที่ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับศูนย์นั่นก็คือ
.
7) มาหาอนุพันธ์อันดับสองกัน อนุพันธ์อันดับสอง: 
.
และนี่เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบเนื่องจาก
หากปัญหาต้องมีการศึกษาฟังก์ชัน f (x) = x 2 4 x 2 - 1 โดยสมบูรณ์ด้วยการสร้างกราฟ เราจะพิจารณาหลักการนี้โดยละเอียด
ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ คุณควรใช้คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น อัลกอริธึมการวิจัยประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:
การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ
เนื่องจากการวิจัยดำเนินการในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จึงจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยขั้นตอนนี้
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ให้มาเกี่ยวข้องกับการหาศูนย์ของตัวส่วนเพื่อแยกค่าเหล่านั้นออกจาก ODZ
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +
ผลลัพธ์ก็คือ คุณจะได้ค่ารูท ลอการิทึม และอื่นๆ จากนั้น ODZ สามารถค้นหารากของระดับเลขคู่ประเภท g (x) 4 ด้วยอสมการ g (x) ≥ 0 สำหรับลอการิทึมให้บันทึก a g (x) ด้วยอสมการ g (x) > 0
ศึกษาขอบเขตของ ODZ และค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง
มีเส้นกำกับแนวตั้งที่ขอบเขตของฟังก์ชัน เมื่อขีดจำกัดด้านเดียวที่จุดดังกล่าวไม่มีที่สิ้นสุด
ตัวอย่างที่ 2
ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุดเส้นขอบเท่ากับ x = ± 1 2
จากนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาลิมิตด้านเดียว แล้วเราจะได้: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ ลิม x → - 1 2 + 0 f (x) = ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ ลิม x → 1 2 - 0 f (x) = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ ลิม x → 1 2 - 0 f (x) = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
นี่แสดงว่าขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง x = ± 1 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟ
ศึกษาฟังก์ชันว่าเป็นคู่หรือคี่
เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = y (x) ฟังก์ชันจะถือว่าเท่ากัน นี่แสดงให้เห็นว่ากราฟอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรเทียบกับ Oy เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = - y (x) ฟังก์ชันจะถือว่าเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าความสมมาตรสัมพันธ์กับจุดกำเนิดของพิกัด ถ้าอย่างน้อยหนึ่งอสมการไม่เป็นที่พอใจ เราจะได้ฟังก์ชันรูปแบบทั่วไป
ความเท่าเทียมกัน y (- x) = y (x) บ่งชี้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เมื่อก่อสร้างจำเป็นต้องคำนึงว่าจะมีสมมาตรสัมพันธ์กับออย
เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน จะใช้ช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงโดยมีเงื่อนไข f " (x) ≥ 0 และ f " (x) ≤ 0 ตามลำดับ
คำจำกัดความ 1
จุดคงที่- นี่คือจุดที่เปลี่ยนอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์
จุดวิกฤติ- นี่คือจุดภายในจากโดเมนของคำจำกัดความโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่
เมื่อตัดสินใจต้องคำนึงถึงหมายเหตุต่อไปนี้:
- สำหรับช่วงเวลาที่มีอยู่ของการเพิ่มและลดความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม f " (x) > 0 จุดวิกฤติจะไม่รวมอยู่ในการแก้ปัญหา
- จุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยไม่มีอนุพันธ์จำกัดต้องรวมไว้ในช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลง (เช่น y = x 3 โดยที่จุด x = 0 ทำให้ฟังก์ชันถูกกำหนด อนุพันธ์จะมีค่าอนันต์ ณ จุดนี้ จุด y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 รวมอยู่ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น);
- เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง ขอแนะนำให้ใช้วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ที่แนะนำโดยกระทรวงศึกษาธิการ
การรวมจุดวิกฤตในช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงหากเป็นไปตามขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชัน
คำจำกัดความ 2
สำหรับ จำเป็นต้องหาการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:
- อนุพันธ์;
- จุดวิกฤติ
- แบ่งโดเมนคำจำกัดความออกเป็นช่วงโดยใช้จุดวิกฤต
- กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา โดยที่ + คือการเพิ่มขึ้น และ - คือการลดลง
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์บนโดเมนของคำจำกัดความ f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
สารละลาย
ในการแก้ปัญหาคุณต้องมี:
- หาจุดคงที่ ตัวอย่างนี้มี x = 0;
- ค้นหาศูนย์ของตัวส่วน ตัวอย่างใช้ค่าศูนย์ที่ x = ± 1 2
เราวางจุดบนแกนตัวเลขเพื่อกำหนดอนุพันธ์ในแต่ละช่วง ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำจุดใดก็ได้จากช่วงเวลาและทำการคำนวณ ที่ ผลลัพธ์ที่เป็นบวกบนกราฟเราแสดง + ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น และ - หมายความว่าฟังก์ชันกำลังลดลง
เช่น f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 ซึ่งหมายความว่าช่วงแรกทางด้านซ้ายจะมีเครื่องหมาย + ให้พิจารณาจากเส้นจำนวน
คำตอบ:
- ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา - ∞; - 1 2 และ (- 1 2 ; 0 ] ;
- มีช่วงเวลาลดลง [ 0 ; 1 2) และ 1 2 ; + .
ในแผนภาพ การใช้ + และ - จะแสดงภาพเชิงบวกและเชิงลบของฟังก์ชัน และลูกศรบ่งชี้การลดลงและการเพิ่มขึ้น
จุดปลายสุดของฟังก์ชันคือจุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและเป็นจุดที่อนุพันธ์เปลี่ยนสัญญาณ
ตัวอย่างที่ 4
หากเราพิจารณาตัวอย่างโดยที่ x = 0 ค่าของฟังก์ชันในนั้นจะเท่ากับ f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 เมื่อเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก + เป็น - และผ่านจุด x = 0 จุดที่มีพิกัด (0; 0) จะถือเป็นจุดสูงสุด เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนจาก - เป็น + เราจะได้จุดต่ำสุด
ความนูนและความเว้าถูกกำหนดโดยการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 ที่ใช้กันน้อยกว่าคือชื่อนูนลงแทนเว้า และนูนขึ้นแทนนูน
คำจำกัดความ 3
สำหรับ การกำหนดช่วงเวลาของความเว้าและความนูนจำเป็น:
- ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง
- ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสอง
- แบ่งพื้นที่คำจำกัดความออกเป็นช่วงตามจุดที่ปรากฏ
- กำหนดเครื่องหมายของช่วงเวลา
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองจากโดเมนของคำจำกัดความ
สารละลาย
ฉ "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
เราค้นหาศูนย์ของตัวเศษและส่วน โดยในตัวอย่างของเรา เรามีค่าศูนย์ของตัวส่วน x = ± 1 2
ตอนนี้คุณต้องพล็อตจุดบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองจากแต่ละช่วงเวลา เราเข้าใจแล้ว
คำตอบ:
- ฟังก์ชั่นนูนออกมาจากช่วงเวลา - 1 2 ; 1 2 ;
- ฟังก์ชั่นเว้าจากช่วงเวลา - ∞ ; - 1 2 และ 1 2; + .
คำจำกัดความที่ 4
จุดเปลี่ยนเว้า– นี่คือจุดของรูปแบบ x 0 ; ฉ (x 0) . เมื่อมีค่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน เมื่อผ่าน x 0 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม
กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองผ่านและเปลี่ยนสัญญาณ และ ณ จุดนั้นเอง มันจะเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จุดทั้งหมดถือเป็นโดเมนของฟังก์ชัน
ในตัวอย่างนี้ เห็นได้ชัดว่าไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนเครื่องหมายขณะผ่านจุด x = ± 1 2 ในทางกลับกันก็ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ
การค้นหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง
เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ คุณต้องมองหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง
คำจำกัดความที่ 5
เส้นกำกับเฉียงแสดงโดยใช้เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y = k x + b โดยที่ k = lim x → ∞ f (x) x และ b = lim x → ∞ f (x) - k x
สำหรับ k = 0 และ b ไม่เท่ากับอนันต์ เราจะพบว่าเส้นกำกับเฉียงกลายเป็น แนวนอน.
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นกำกับถือเป็นเส้นตรงที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้อนันต์ ช่วยให้สร้างกราฟฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็ว
หากไม่มีเส้นกำกับ แต่มีการกำหนดฟังก์ชันไว้ที่อนันต์ทั้งสอง จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันที่อนันต์เหล่านี้เพื่อทำความเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันจะมีพฤติกรรมอย่างไร
ตัวอย่างที่ 6
ลองพิจารณาเป็นตัวอย่างว่า
k = ลิม x → ∞ f (x) x = ลิม x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = ลิม x → ∞ (f (x) - k x) = ลิม x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
เป็นเส้นกำกับแนวนอน หลังจากตรวจสอบฟังก์ชันแล้ว คุณสามารถเริ่มสร้างฟังก์ชันได้
การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลาง
เพื่อให้กราฟมีความแม่นยำมากขึ้น แนะนำให้ค้นหาค่าฟังก์ชันหลายค่าที่จุดกึ่งกลาง
ตัวอย่างที่ 7
จากตัวอย่างที่เราพิจารณา จำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เราจึงได้ค่าที่ตรงกับค่าที่จุดเหล่านี้ นั่นคือเราได้ x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4
มาเขียนและแก้กัน:
ฉ (- 2) = ฉ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 µ 0, 27 ฉ (- 1) - ฉ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 µ 0 , 33 ฉ - 3 4 = ฉ 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 ฉ - 1 4 = ฉ 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 data - 0.08
ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดกึ่งกลาง จำเป็นต้องสร้างเส้นกำกับ เพื่อการกำหนดที่สะดวก จะมีการบันทึกช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น การลดลง ความนูน และความเว้า ลองดูภาพด้านล่าง
จำเป็นต้องวาดเส้นกราฟผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใกล้เส้นกำกับโดยติดตามลูกศร
นี่เป็นการสรุปการสำรวจฟังก์ชันทั้งหมด มีหลายกรณีของการสร้างฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างที่ใช้การแปลงทางเรขาคณิต
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ในขณะนี้ ฐานข้อมูลใบรับรองในตัวของ TheBat สำหรับ SSL หยุดทำงานอย่างถูกต้อง (ยังไม่ชัดเจนว่าด้วยเหตุผลใด)
เมื่อตรวจสอบโพสต์จะมีข้อผิดพลาดปรากฏขึ้น:
ใบรับรอง CA ที่ไม่รู้จัก
เซิร์ฟเวอร์ไม่ได้แสดงใบรับรองหลักในเซสชัน และไม่พบใบรับรองหลักที่เกี่ยวข้องในสมุดที่อยู่
การเชื่อมต่อนี้ต้องไม่เป็นความลับ โปรด
ติดต่อผู้ดูแลระบบเซิร์ฟเวอร์ของคุณ
และคุณจะได้รับคำตอบให้เลือก - ใช่ / ไม่ใช่ ดังนั้นทุกครั้งที่คุณลบเมลออก
สารละลาย
ในกรณีนี้ คุณต้องแทนที่มาตรฐานการใช้งาน S/MIME และ TLS ด้วย Microsoft CryptoAPI ในการตั้งค่า TheBat!
เนื่องจากฉันต้องการรวมไฟล์ทั้งหมดเป็นไฟล์เดียว ฉันจึงแปลงทุกอย่างก่อน ไฟล์เอกสารเป็นไฟล์ pdf ไฟล์เดียว (โดยใช้โปรแกรม Acrobat) จากนั้นโอนไปที่ fb2 ผ่านตัวแปลงออนไลน์ คุณยังสามารถแปลงไฟล์ทีละไฟล์ได้ รูปแบบใดก็ได้ (แหล่งที่มา) - doc, jpg และแม้แต่ไฟล์ zip!
ชื่อของไซต์สอดคล้องกับสาระสำคัญ :) Photoshop ออนไลน์
อัปเดตเมื่อเดือนพฤษภาคม 2558
ฉันพบเว็บไซต์ที่ยอดเยี่ยมอีกแห่ง! สะดวกและใช้งานได้มากขึ้นสำหรับการสร้างภาพต่อกันแบบกำหนดเองโดยสมบูรณ์! นี่คือเว็บไซต์ http://www.fotor.com/ru/collage/ เพลิดเพลินเพื่อสุขภาพของคุณ และฉันจะใช้มันเอง
ในชีวิตฉันเจอปัญหาการซ่อมเตาไฟฟ้า ฉันได้ทำหลายสิ่งหลายอย่างแล้ว เรียนรู้มากมาย แต่ไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับไทล์เลย จำเป็นต้องเปลี่ยนหน้าสัมผัสบนตัวควบคุมและหัวเผา คำถามเกิดขึ้น - จะกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของหัวเผาบนเตาไฟฟ้าได้อย่างไร?
คำตอบกลายเป็นเรื่องง่าย คุณไม่จำเป็นต้องวัดขนาดใดๆ คุณสามารถกำหนดขนาดที่ต้องการได้ด้วยตาเปล่า
เตาที่เล็กที่สุด- นี่คือ 145 มิลลิเมตร (14.5 เซนติเมตร)
เตากลาง- นี่คือ 180 มิลลิเมตร (18 เซนติเมตร)
และที่สุดก็คือที่สุด เตาขนาดใหญ่- นี่คือ 225 มิลลิเมตร (22.5 เซนติเมตร)
ก็เพียงพอที่จะกำหนดขนาดด้วยตาและทำความเข้าใจว่าคุณต้องการหัวเตาขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด เมื่อไม่รู้เรื่องนี้ก็กังวลเรื่องมิติเหล่านี้ ไม่รู้ว่าจะวัดอย่างไร ต้องนำทางไปยังขอบไหน ฯลฯ ตอนนี้ฉันฉลาดแล้ว :) ฉันหวังว่าฉันจะช่วยคุณเช่นกัน!
ในชีวิตของฉันฉันประสบปัญหาดังกล่าว ฉันคิดว่าไม่ใช่ฉันคนเดียว
