Teoria e grafikut. Teoria e grafikut është një degë e gjerë e pavarur e matematikës diskrete. Përdoret në projektimin e rrjeteve kompjuterike, tubacioneve, - prezantim. Grafikët Grafikët dhe prezantimi i përdorimit të tyre

Për të parë prezantimin me foto, dizajn dhe sllajde, shkarkoni skedarin e tij dhe hapeni në PowerPoint në kompjuterin tuaj.
Përmbajtja e tekstit të sllajdeve të prezantimit: Grafikët dhe zbatimi i tyre në zgjidhjen e problemave Përmbajtja Çfarë është grafi Vetitë e grafikut Historia e shfaqjes së grafikëve Problemi i urave të Königsberg Zbatimi i grafikëve Përfundime Çfarë është grafiku Në matematikë përkufizimi i grafikut jepet si më poshtë: A Grafiku është një grup pikash jo bosh dhe një grup segmentesh, të dy skajet e të cilave i përkasin një grupi të caktuar pikash. Pikat quhen kulme të grafikut dhe vijat lidhëse janë skaje. Skajet e një grafi Kulmet e një grafi Tjetra Çfarë është një grafik Numri i skajeve që dalin nga një kulm i një grafi quhet shkalla e kulmit. Një kulm i një grafi që ka një shkallë tek quhet tek, dhe një kulm që ka një shkallë çift quhet çift. Përmbajtja e shkallës teke Vetitë e grafikëve Në një graf, shuma e shkallëve të të gjitha kulmeve të tij është një numër çift, i barabartë me dyfishin e numrit të skajeve të grafikut grafiku me n kulme, ku n≥2, ka gjithmonë dy kulme me shkallë të njëjta. Vetitë e grafikëve Nëse në një graf me n kulme (n>2) saktësisht dy kulme kanë të njëjtën shkallë, atëherë në këtë grafik ka gjithmonë saktësisht një kulm të shkallës 0 ose saktësisht një kulm të shkallës n-1 grafiku ka n kulme, atëherë numri i skajeve do të jetë i barabartë me n(n-1)/2. Vetitë e një grafiku Grafiku i plotë Grafiku i paplotë Vetitë e një grafi Grafik i drejtuar Grafiku i padrejtuar Grafikët izomorfikë Historia e grafikëve Termi "graf" u shfaq për herë të parë në librin e matematikanit hungarez D. Koenig në vitin 1936, megjithëse teoremat fillestare më të rëndësishme rreth grafëve shkojnë përsëri te L. Euler. Historia e mëtejshme e shfaqjes së grafikëve Themelet e teorisë së grafeve si shkencë matematikore u hodhën në vitin 1736 nga Leonhard Euler, duke marrë parasysh problemin e urave të Königsberg. Sot kjo detyrë është bërë klasike. përmbajtja Problemi rreth urave Königsberg Ish-Königsberg (tani Kaliningrad) ndodhet në lumin Pregel. Brenda qytetit, lumi lan dy ishuj. U ndërtuan nga brigjet në ishuj. Urat e vjetra nuk kanë mbijetuar, por ka mbetur një hartë e qytetit, ku ato janë paraqitur. Tjetra Problemi për urat e Königsberg Problemi i mëposhtëm ishte i përhapur në mesin e banorëve të Königsberg: a është e mundur të ecësh nëpër të gjitha urat dhe të kthehesh në pikën e fillimit, duke vizituar secilën urë vetëm një herë? Problem i mëtejshëm në lidhje me urat e Königsberg Është e pamundur të ecësh nëpër urat e Königsberg duke respektuar kushtet e dhëna. Ecja nëpër të gjitha urat, me kusht që të duhet të vizitosh secilën një herë dhe të kthehesh në pikën fillestare të udhëtimit, në gjuhën e teorisë së grafikut duket si problemi i paraqitjes së një grafiku me "një goditje". më tej Problemi i urave të Königsberg-ut Por, duke qenë se grafiku në këtë figurë ka katër kulme tek, është e pamundur të vizatohet një grafik i tillë "me një goditje". përmbajtja Grafiku i Euler-it Një graf që mund të vizatohet pa e hequr lapsin nga letra quhet graf i Euler-it. Duke zgjidhur problemin e urave të Königsberg-ut, Euler formuloi vetitë e grafikut: Numri i kulmeve tek (kulmet tek të cilat çon një numër tek i skajeve) të grafikut duhet të jetë çift. Nuk mund të ketë një grafik që ka një numër tek kulmet tek nëse të gjitha kulmet e grafikut janë çift, atëherë mund të vizatoni një grafik pa e hequr lapsin nga letra dhe mund të filloni nga çdo kulm i grafikut dhe të përfundoni. ai në të njëjtin kulm Një graf me më shumë se dy kulme teke nuk mund të vizatohet me një goditje. më tej grafiku i Euler-it Nëse të gjitha kulmet e grafikut janë të njëtrajtshme, atëherë mund ta vizatoni këtë grafik pa e hequr lapsin nga letra (“me një goditje”), duke kaluar përgjatë çdo skaji vetëm një herë. Lëvizja mund të fillojë nga çdo kulm dhe të përfundojë në të njëjtin kulm. më tej Grafiku i Euler-it Një graf me vetëm dy kulme tek mund të vizatohet pa e hequr lapsin nga letra, dhe lëvizja duhet të fillojë nga një prej këtyre kulmeve tek dhe të përfundojë në të dytin prej tyre. më tej Grafiku i Euler-it Një graf që ka më shumë se dy kulme teke nuk mund të vizatohet me "një goditje". ? Përdorimi i grafikëve Përdorimi i grafikëve për të thjeshtuar zgjidhjen problemet matematikore, puzzles, detyrat e zgjuarsisë. më tej Zbatimi i grafikëve Problem: Arkady, Boris. Vladimir, Grigory dhe Dmitry shtrënguan duart kur u takuan (secili shtrëngoi duart me njëri-tjetrin një herë). Sa shtrëngime duarsh janë bërë? më tej Zbatimi i grafikëve Zgjidhja: A D C B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 më tej Zbatimi i grafikëve Në shtet, sistemi i linjës ajrore është projektuar në atë mënyrë që çdo qytet të lidhet me linja ajrore jo më shumë se tre të tjerë, dhe nga çdo qytet në çdo tjetër Mund të udhëtoni duke bërë jo më shumë se një ndryshim. Sa është numri maksimal i qyteteve që mund të ketë në këtë shtet? Zbatimi i grafikëve Le të jetë një qytet i caktuar A. Prej tij mund të arrini jo më shumë se tre qytete, dhe nga secili prej tyre jo më shumë se dy të tjerë (pa llogaritur A). Atëherë numri i përgjithshëm i qyteteve nuk është më shumë se 1+3+6=10. Kjo do të thotë se gjithsej nuk ka më shumë se 10 qytete Shembulli në figurë tregon ekzistencën e linjave ajrore. Një aplikim i grafikëve Ekziston një tabelë shahu 3x3, në dy qoshet e sipërme ka dy kalorës të zinj, në ato të poshtme ka dy të bardhë (foto më poshtë). Në 16 lëvizje, vendosni kalorësit e bardhë në vend të zezakëve dhe kalorësit e zinj në vend të të bardhëve dhe provoni se është e pamundur ta bëni këtë në më pak lëvizje. Zbatimi i grafikëve Pasi kemi zgjeruar grafikun e lëvizjeve të mundshme të kalorësit në një rreth, konstatojmë se në fillim kalorësit qëndronin si në figurën më poshtë: Përfundim Grafikët janë objekte të mrekullueshme matematikore, me ndihmën e të cilëve mund të zgjidhni matematikën, ekonomike dhe logjikën. problemet. Ju gjithashtu mund të zgjidhni enigma të ndryshme dhe të thjeshtoni kushtet e problemeve në fizikë, kimi, elektronikë dhe automatizim. Grafikët përdoren në përpilimin e hartave dhe pemëve familjare. Ekziston edhe një seksion i veçantë në matematikë i quajtur "Teoria e Grafikut". përmbajtjen

Skedarët e bashkangjitur

Një grafik është një grup i fundëm kulmesh V dhe një grup skajesh R që lidhin çifte kulmesh, G=(V,R). Kardinalitetet e grupeve V dhe R janë të barabarta me N dhe M. Bashkësia e skajeve mund të jetë bosh. Shembuj të kulmeve janë objekte të çdo natyre (vendbanime, rrjete kompjuterike). Shembuj të skajeve janë rrugët, anët, vijat.

Kulmet e lidhura nga një skaj quhen ngjitur. Skajet që kanë një kulm të përbashkët quhen gjithashtu ngjitur. Një skaj dhe ndonjë nga dy kulmet e saj quhen incidente. Shkalla e një kulmi është numri i skajeve që bien në të. Çdo grafik mund të përfaqësohet në një rrafsh nga një grup pikash që korrespondojnë me kulmet, të cilat lidhen me vija që korrespondojnë me skajet.

Një rrugë e grafikut është një sekuencë kulmesh dhe skajesh. Një rrugë mbyllet (ciklike) nëse kulmet e fillimit dhe mbarimit përkojnë. Një rrugë është një zinxhir i thjeshtë nëse të gjitha kulmet dhe skajet janë të dallueshme. Një grafik lidhet nëse çdo kulm është i arritshëm nga ndonjë tjetër. Kulmet që nuk kanë skaje përplasëse quhen të izoluara.

Matrica e Incidentit

Listat e komunikimit

Lista e brinjëve

Matrica e afërsisë së një grafiku grafik të padrejtuar me peshë të lidhur

Ndërtimi i një peme të lidhur me peshë minimale. Algoritmi i Kruskalit Të gjitha skajet hiqen nga grafiku, duke rezultuar në një nëngraf të shtrirë ku të gjitha kulmet janë të izoluara. Çdo kulm vendoset në një nënbashkësi të vetme. Skajet janë të renditura duke rritur peshën. Skajet përfshihen në mënyrë sekuenciale, sipas renditjes në rritje të peshave të tyre, në pemën që përfshin.

Janë 4 raste: 1) të dy kulmet e skajit të përfshirë i përkasin nëngrupeve të vetme, pastaj ato kombinohen në një nënbashkësi të re, të lidhur; 2) njëra nga kulmet i përket një nëngrupi të lidhur, por tjetra jo, atëherë të dytën e përfshijmë në nënbashkësinë të cilës i përket e para; 3) të dy kulmet i përkasin nënbashkësive të ndryshme të lidhura, pastaj i kombinojmë nëngrupet; 4) Të dy kulmet i përkasin të njëjtit nëngrup të lidhur, atëherë e përjashtojmë këtë skaj.

Një shembull i ndërtimit të një peme shtrirëse me peshë minimale për një grafik GG Veprimet që duhen kryer Bashkësia e kulmeve Grafiku 1 Le të ndërtojmë një nëngraf që përfshin kulme të izoluara dhe kulme Do të marrim 5 nëngrupe me një element: (V 1 ), (V 2 ), (V 3 ), (V 4 ), (V 5 ) 2Gjeni një skaj me peshë minimale (R 15) dhe shtojeni atë në nëngrafin që përfshin Ne formojmë një nëngrup të lidhur kulmesh: (V 1,V 5). Ne ruajmë nëngrupet (V 2), (V 3), (V 4)

Veprimet që do të kryhen Bashkësia e kulmeve Grafiku 3 Ndër ato që mbeten, gjeni skajin e peshës minimale (R 45) dhe shtoni atë në nëngrafinë që përfshin një kulm në nënbashkësinë e lidhur: (V 1, V 5, V 4). . Ne ruajmë nëngrupet (V 2), (V 3) 4Ndër ato që mbeten, gjejmë skajin e peshës minimale (R 23) dhe e shtojmë atë në nëngrafin që përfshin një nëngrup të ri të lidhur: (V 2, V 3). Ne ruajmë nëngrupin e parë të lidhur (V 1, V 5, V 4).

Veprimet që duhen kryer Bashkësia e kulmeve Grafiku 5 Midis atyre të mbetura, gjejmë skajin e peshës minimale (R 25) dhe e shtojmë atë në nëngrafin që përfshin nëngrupet. V 2, V 3). 6Skajet e mbetura nuk përfshihen në grafik, sepse të gjitha kulmet e tyre tashmë i përkasin një grupi të lidhur.

Veprimet që duhen kryer Bashkësia e kulmeve Grafiku 7 Përftohet një grafik që është: i shtrirë (përfshihen të gjitha kulmet); i lidhur (të gjitha kulmet mund të lidhen me rrugë); pemë (pa sythe); ka peshë minimale. 8 Pema e shtrirjes që rezulton ka një peshë minimale: R 12 +R 25 +R 15 +R 45 = =80 9 Numri ciklik i grafikut G është γ=m-n+1=8-5+1=4, që korrespondon. në numrin e skajeve që nuk përfshihen në një pemë.

Deklarimi i variablave Dy vargje me numra të plotë me pesë elementë X dhe Y për të ruajtur koordinatat e kulmeve të grafikut Një varg i plotë dydimensional R për të ruajtur peshat e skajeve të grafikut. ruani shumën e peshave të skajeve të pemës me peshë minimale

Gjenerimi i koordinatave të rastësishme të 5 kulmeve të një grafiku (qarkullimi përmes i). Llogaritja e peshave të skajeve. Prodhimi i matricës së fqinjësisë së një digrafi të peshuar (cithe të mbivendosura me n dhe me k) Prodhimi i matricës së afërsisë së një grafi të padrejtuar të ponderuar - gjysma e elementeve të matricës fillestare (vlera fillestare k=n+1) Trupi i programit

Numri i kulmeve quhet
renditja e grafikut.
Numri i skajeve quhet
madhësia e grafikut.

Disa terma-1

- Le të jetë R=(a,b) një nga skajet e grafikut. Pastaj
kulmet a dhe b quhen kulme fundore
kulmet e brinjës;
- Kulmet fundore të së njëjtës skaj
fqinjët e thirrur;
- Dy skaje quhen fqinjë nëse kanë
kulm fundor i përbashkët;
- Dy skaje quhen të shumëfishta nëse
grupet e kulmeve të tyre fundore përkojnë;
- Një skaj quhet lak nëse përfundon
ndeshje.

Disa terma-2

- Shkalla e kulmit V shënohet me deg(V)
quhet numri i skajeve për
nga e cila ky kulm është ai fundor;
- Një kulm quhet i izoluar nëse
nuk është pika përfundimtare për asnjë
brinjë;
- Një kulm quhet gjethe nëse ajo
është fundi i njërës
brinjët Për fletën q padyshim deg(q)=1.

Shembull:

deg(C)=4
H1,…H4 - Gjethe

Një shembull tjetër:

Qytetet B dhe D - të izoluara
majat; Qytetet G dhe E janë gjethe.

Grafiku i plotë

Një grafik quhet i plotë nëse ka
dy kulme janë të lidhura me një buzë.
Sa skaje ka një grafik i plotë?
urdhëroj n?
Një grafik i plotë i rendit n ka numrin e skajeve
barazohet me Cn2=n!/(2*(n-2)!) =n*(n-1)/2

Le ta vërtetojmë...

Grafiku i plotë me dy kulme
përmban një skaj - kjo është e qartë.
Zëvendësoni n=2 në formulën n*(n-1)/2
Ne marrim:
n*(n-1)/2=1
Formula është e saktë kur n=2

Hipoteza e induksionit

Le të supozojmë se formula është e vërtetë për
grafiku me k kulme.
Le të vërtetojmë se kjo nënkupton
vlefshmëria e formulës për grafikun
me (k+1) kulm.

Le të shtojmë edhe një kulm në grafikun e plotë me kulme K.

Dhe lidheni atë me K-në e parë
majat...

Ne marrim:

Ne numërojmë sa brinjë kemi...

K*(K-1)/2 + K
=
K*(K+1)/2
Shprehja e fundit rezulton të jetë
nëse në formulën n*(n-1)/2 në vend të n
zëvendësim K+1.

Nga supozimi i drejtësisë
vijojnë deklaratat për n=k
vlefshmëria e deklaratës kur
n=k+1.
Teorema është vërtetuar.

Shembuj të grafikëve të plotë

Sqarim i rëndësishëm

Çiftet që përcaktojnë skajet në një graf të padrejtuar janë të pa renditur (d.m.th.
çiftet (a,b) dhe (b,a) nuk ndryshojnë)

Grafiku i drejtuar

Nëse ka shumë skaje të grafikut
çifte të renditura (d.m.th. (a,b) ≠ (b,a)),
Atëherë grafiku quhet i drejtuar
(ose digrafi)
Si t'i japim orientim konceptit
kuptimi vizual?
Shumë e thjeshtë - brinjët janë të furnizuara
shigjeta (nga fillimi në fund)!

Shembull digrafi

Grafik i përzier

Një grafik i përzier është një trefish (V, E, A).
V – grup kulmesh;
E – grup i paorientuar
brinjë;
A është një grup skajesh të orientuara.
Nga rruga, skajet e orientuara
quhen harqe.

Izomorfizmi i grafikut

Le të jenë dy grafikë G1 dhe G2
Nëse ka një korrespondencë një-për-një F
ndërmjet kulmeve të grafikëve G1 dhe G2, të tillë që:
- nëse ka një skaj (a,b) në grafikun G1, atëherë ka një skaj edhe në grafikun G2.
ka një skaj (F(a),F(b))
- nëse ka një skaj (p,q) në grafikun G2, atëherë ka një skaj edhe në grafikun G1.
ka një skaj (F-1 (p), F-1 (q))
atëherë grafikët G1 dhe G2 quhen izomorfikë dhe
korrespondenca F është një izomorfizëm.

Sqarim

Për digrafë dhe grafikë të përzier
përputhshmëria F duhet të ruajë
orientimi i harqeve.

Kushtet e nevojshme për izomorfizëm

Në çfarë kushtesh ndërmjet elementeve
dy grupe të fundme
vendos një për një
korrespondencë?
Atëherë dhe vetëm atëherë, numri i tyre
elementet janë të njëjtë.
Një kusht i domosdoshëm për izomorfizmin
numri i grafikëve është i njëjtë
majat

A është i mjaftueshëm ky kusht?

Jo, sepse majat mund të jenë
lidhur ndryshe.

A janë izomorfikë këta grafikë?

Numri i kulmeve është i njëjtë -
plotësohet kushti i nevojshëm...

Ne po përpiqemi të ndërtojmë një korrespondencë F...

Ky nuk është një izomorfizëm: G1 ka një skaj (A, D),
dhe imazhet e këtyre skajeve në G2 nuk janë të lidhura.

Një tjetër përpjekje...

Dhe ky është izomorfizëm!

A janë izomorfikë këta grafikë?

Mjerisht jo...

Nga pikëpamja teorike, dy
Grafikët izomorfikë janë një dhe i njëjtë
i njëjti objekt (vetëm ndoshta i përshkruar ndryshe...)

Shtigjet (zinxhirët):

Një shteg (zinxhir) është një sekuencë
kulmet:
a1, a2, …, an
në të cilat kulmet fqinje ai dhe ai+1
të lidhura me brinjë.
Gjatësia e një rruge është numri i përbërësve të saj
brinjët

Shembuj të rrugëve:

(A, D, C) dhe (A, B, D) janë shtigje. (A, B, C) nuk është rruga.

Koncepti i një shtegu për një digraf ruhet
forcë, por ka nevojë për plotësim -
majat fqinje në
sekuencat
a1, a2, …, an
duhet të lidhen me harqe.

Ciklet

Një cikël është një shteg që ka një fillestar dhe
kulmi përfundimtar përputhet.
Gjatësia e një cikli është numri i përbërësve të tij
brinjët
Një cikël quhet i thjeshtë nëse skajet në të
nuk përsëriten.
Një cikël quhet elementar nëse ai
thjeshtë dhe kulmet në të nuk përsëriten.

Komponentët e lidhjes

Kulmet e një grafi arbitrar mund të jenë
ndarë në klasa të tilla që për
çdo dy kulme të së njëjtës klasë v1
dhe v2 ka një shteg nga v1 në v2
Këto klasa quhen komponentë
lidhjes.
Nëse grafiku ka saktësisht një komponent
lidhshmëria, atëherë thirret grafiku
koherente.

Paraqitja makinerike e grafikëve.

Matrica e fqinjësisë

- Le të numërojmë kulmet e grafikut G
numra të plotë të njëpasnjëshëm nga 1 në n;
- Të ndërtojmë një tabelë katrore n×n dhe
mbusheni me zero;
- Nëse ka një skaj që lidh
kulmet i dhe j, pastaj në pozicionet (i,j) dhe (j,i)
ne do të furnizojmë njësi;
- Tabela që rezulton quhet
matrica e fqinjësisë së grafikut G.

Shembull

Disa veti të dukshme të matricës së fqinjësisë

- Nëse një kulm është i izoluar, atëherë rreshti i tij dhe
kolona do të jetë plotësisht zero;
- Numri i njësive në një rresht (kolona)
e barabartë me shkallën përkatëse
majat;
- Për një matricë grafike të padrejtuar
fqinjësia është simetrike në lidhje me
diagonale kryesore;
- Një lak i korrespondon një njësie në këmbë
diagonale kryesore.

Përgjithësim për digraf

Matrica e fqinjësisë për një digraf
mund të ndërtohet në mënyrë të ngjashme
mënyrë, por për të marrë parasysh rendin
vertices, ju mund ta bëni këtë:
Nëse harku vjen nga kulmi j dhe
hyn në kulmin k, pastaj në pozicionin (j,k)
Matricat e afërsisë duhet të vendosen në 1, dhe në
pozicioni (k,j) vendosur -1.

Matrica e incidencës

- Le të numërojmë kulmet e grafikut G
numra të plotë të njëpasnjëshëm nga 1 në
n;
- Le të ndërtojmë një tavolinë drejtkëndëshe me
n rreshta dhe m kolona (kolona
korrespondojnë me skajet e grafikut);
- Nëse skaji j ka një terminal
kulmi është kulmi k, pastaj në pozicion
(k,j) është vendosur në një. Në të gjitha
në raste të tjera vendoset në zero.

Matrica e incidencës për një digraf

- Nëse harku j vjen nga kulmi k,
atëherë 1 vendoset në pozicionin (k,j);
- Nëse harku j-të hyn në kulmin k, atëherë
-1 vendoset në pozicionin (k,j).
- Në raste të tjera në pozicionin (k,j)
mbetet zero.

Që nga kolonat e matricës
incidenca përshkruan brinjët, atëherë
çdo kolonë mund të mos përmbajë
më shumë se dy elementë jo zero

Shembull i një matrice incidence

Lista e skajeve

Një mënyrë tjetër për të paraqitur një grafik
– grup dydimensional (lista e çifteve).
Numri i çifteve është i barabartë me numrin e skajeve
(ose harqe).

Shembull i listës së skajeve

Krahasimi i metodave të ndryshme të prezantimit

- Lista e skajeve është më kompakte, dhe
matrica e incidencës më së paku
kompakt;
- Matrica e incidencës është e përshtatshme kur
kërkimi i cikleve;
- Matrica e fqinjësisë është më e thjeshtë
pjesa tjetër në përdorim.

Kalimi i grafikut

Kalimi i një grafiku quhet numërimi i tij
kulme, të tilla që çdo kulm
parë një herë.

Marrëveshja-1

Përpara se të kryeni një kërkim në një grafik
me n kulme do të krijojmë një grup Chk
e n elementeve dhe e plotësoni
zero.
Nëse Chk[i] = 0, atëherë kulmi i i-të është i palëvizshëm
nuk shihet.

Marrëveshja-2

Le të krijojmë një strukturë të dhënash
(magazinë) në të cilën do
mbani mend kulmet në proces
anashkalojë. Ndërfaqja e ruajtjes
duhet të ofrojë tre funksione:
- Sillni në krye;
- Nxjerr kulmin;
- Kontrolloni nëse depoja është bosh;

Marrëveshja-3

Kur kulmi j vendoset në
ruajtje, është shënuar si
të shikuara (d.m.th. të instaluara
Chk[j]=1)

Algoritmi i anashkalimit-1

1) Merrni një kulm fillestar arbitrar,
e shtypim dhe e vendosim në ruajtje;

3) Merrni kulmin Z nga ruajtja;
4) Nëse ka një kulm Q të lidhur me Z dhe jo
shënuar, pastaj kthejeni Z në ruajtje,
vendos Q në ruajtje, printo Q;
5) Shkoni në hapin 2

Algoritmi i anashkalimit-2

1) Merrni një kulm fillestar arbitrar dhe
e vendosim në ruajtje;
2) A është depoja bosh? Nëse PO - ka mbaruar;
3) Merrni kulmin Z nga ruajtja, printoni dhe
fshini nga ruajtja;
4) Ne vendosim të gjitha kulmet në ruajtje,
i lidhur me Z dhe ende i pa shënuar;
5) Shkoni në hapin 2

Cilat struktura të dhënash janë të përshtatshme si ruajtje?

- Stack (PUSH - shtoni; POP - hiqni)
- Radha (ENQUE – fut; DEQUE –
ekstrakt)
Të dyja strukturat ju lejojnë të kontrolloni
disponueshmëria e të dhënave.

Algoritmi-1 në kombinim me një pirg
i quajtur përshkimi i parë i thellësisë
Algoritmi-2 në kombinim me një radhë
i quajtur gjerësia e parë përshkuar

1 rrëshqitje

2 rrëshqitje

Themelet e teorisë së grafikëve u shfaqën për herë të parë në veprat e Leonhard Euler (1707-1783; matematikan zviceran, gjerman dhe rus), në të cilin ai përshkroi zgjidhjen e enigmave dhe problemeve matematikore të argëtimit. Teoria e grafikut filloi me zgjidhjen e Euler-it për problemin e shtatë urave të Königsberg.

3 rrëshqitje

Gjëegjëza e mëposhtme ka qenë prej kohësh e zakonshme në mesin e banorëve të Königsberg: si të kalosh të gjitha urat (përtej lumit Pregolya) pa kaluar asnjërën prej tyre dy herë? Shumë janë përpjekur ta zgjidhin këtë problem si teorikisht ashtu edhe praktikisht gjatë shëtitjeve. Por askush nuk ia doli dhe as nuk arriti të vërtetonte se ishte edhe teorikisht e pamundur. Në një diagram të thjeshtuar të pjesëve të një qyteti (grafiku), urat korrespondojnë me linjat (harqet e grafikut) dhe pjesët e qytetit korrespondojnë me pikat e linjave lidhëse (kulmet e grafikut). Gjatë arsyetimit të tij, Euler arriti në përfundimet e mëposhtme: Është e pamundur të kalosh të gjitha urat pa kaluar dy herë mbi asnjërën prej tyre.

4 rrëshqitje

Ka 4 grupe gjaku. Kur gjaku transfuzohet nga një person tek tjetri, jo të gjitha grupet janë të pajtueshme. Por dihet se grupet identike mund të barten nga personi në person, d.m.th. 1 – 1, 2 – 2, etj. Dhe gjithashtu grupi 1 mund të transfuzohet në të gjitha grupet e tjera, grupet 2 dhe 3 vetëm në grupin 4. Detyrë.

5 rrëshqitje

6 rrëshqitje

Grafikët Një grafik është një model informacioni i paraqitur në formë grafike. Një grafik është një grup kulmesh (nyjesh) të lidhura me skaje. Një grafik me gjashtë kulme dhe shtatë skaje. Kulmet quhen ngjitur nëse janë të lidhura me një skaj.

7 rrëshqitje

Grafikët e drejtuar - digrafi Çdo skaj ka një drejtim. Skajet e tilla quhen harqe. Grafiku i drejtuar

8 rrëshqitje

Grafiku i peshuar Ky është një grafik, skajeve ose harqeve të të cilit janë caktuar vlera numerike (ato mund të tregojnë, për shembull, distancën midis qyteteve ose koston e transportit). Pesha e një grafiku është e barabartë me shumën e peshave të skajeve të tij. Tabela (e quajtur matricë e peshës) ka një grafik përkatës. 1 2 4 2 3 A B C D E

Rrëshqitja 9

Problemi ndërmjet vendbanimet Janë ndërtuar rrugët A, B, C, D, E, F, gjatësia e të cilave është paraqitur në tabelë. (Mungesa e një numri në tabelë do të thotë se nuk ka rrugë të drejtpërdrejtë midis pikave). Përcaktoni gjatësinë e shtegut më të shkurtër ndërmjet pikave A dhe F (duke supozuar se udhëtimi mund të bëhet vetëm në rrugë të ndërtuara). 1) 9 2) 10 3) 11 4) 12

10 rrëshqitje

1. 2. 3. 4. 5. Gjatësia e më të shkurtërit rruga A-B-C-E-Fështë e barabartë me 9 2 4 2 4 7 1 2 4 7 1 3 4 2 4 7 1 3 4 3 2 4 7 1 3 4 3 2