Prezantim me temën: Rregulli i shumës është një rast i veçantë i formulës së përfshirjes dhe përjashtimit. Nëse marrim parasysh A dhe. Sa numra katërshifrorë ka I njëjti problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër?
Në shumë probleme kombinuese, gjetja e drejtpërdrejtë e numrit të opsioneve që na interesojnë rezulton të jetë e vështirë. Sidoqoftë, me disa ndryshime në kushtet e problemit, mund të gjeni një numër opsionesh që tejkalojnë origjinalin me një numër të njohur herë. Kjo teknikë quhet metoda e numërimit të shumëfishtë.
1. Sa anagrame ka fjala KLASË?
Vështirësia është se në këtë fjalë ka dy shkronja identike C. Ne do t'i konsiderojmë ato përkohësisht të ndryshme dhe do të shënojmë C 1 dhe C 2. Atëherë numri i anagrameve do të jetë i barabartë me 5! = 120. Por ato fjalë që ndryshojnë nga njëra-tjetra vetëm duke rirregulluar shkronjat C 1 dhe C 2 janë në të vërtetë i njëjti anagram! Prandaj, 120 anagrame ndahen në çifte identike, d.m.th. numri i kërkuar i anagrameve është 120/2 = 60.
2. Sa anagrame ka fjala CHARADA?
Duke numëruar tre shkronja A si shkronja të ndryshme A 1, A 2, A 3, marrim 6! anagrame Por fjalët që bëhen nga njëra-tjetra vetëm duke riorganizuar shkronjat A 1, A 2, A 3 janë në fakt i njëjti anagram. Sepse janë 3! permutacionet e shkronjave A 1, A 2, A 3, të marra fillimisht 6! Anagramet ndahen ne grupe me nga 3! identike, dhe numri i anagrameve të ndryshme rezulton të jetë 6!/3! = 120.
3. Sa numra katërshifrorë ka që përmbajnë të paktën një shifër çift?
Le të gjejmë numrin e numrave katërshifrorë "të panevojshëm", shënimet e të cilëve përmbajnë vetëm shifra tek. Janë 5 4 = 625 numra të tillë, por në total janë 9000 numra, pra numri i nevojshëm i numrave është 9000 – 625 = 8375.
- Gjeni numrin e anagrameve për fjalët VERESK, BALAGAN, CITYMAN.
- Gjeni numrin e anagrameve për fjalët BAOBAB, BALLAD, KTHIM, ANAGRAM, MATEMATIKË, KOMBINATORIKË, MBROJTJE.
- Në sa mënyra mund të strehoni 7 vizitorë në tre dhoma hoteli: teke, dyshe dhe katershe?
- Në frigorifer ka dy mollë, tre dardha dhe katër portokall. Çdo ditë për nëntë ditë me radhë Petya i jepet një copë fruta. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?
- Nga shtatë skiatorët më të mirë të shkollës, duhet të zgjidhet një ekip prej tre personash për të marrë pjesë në garat e qytetit. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?
- Para provimit, profesori premtoi se do t'u jepte nota të këqija gjysmës së provimit. Në provim erdhën 20 studentë. Në sa mënyra mund ta përmbushë premtimin e tij?
- Sa fjalë mund të bëhen nga pesë shkronja A dhe jo më shumë se tre shkronja B?
- Akullore me çokollatë, luleshtrydhe dhe qumësht janë në dispozicion. Në sa mënyra mund të blini tre akullore?
- Gjatë përgatitjes së picës, djathit i shtohen përbërës të ndryshëm për të dhënë një shije të veçantë. Bill ka në dispozicion qepë, kërpudha, domate, speca dhe açuge, të cilat, sipas tij, mund t'i shtohen djathit. Sa lloje picash mund të bëjë Bill?
- Një dëshmitar i përballjes kriminale kujtoi se kriminelët u larguan me një Mercedes, targa e së cilës kishte shkronjat T, Z, U dhe numrat 3 dhe 7 (numri është një rresht që përmban fillimisht tre shkronja dhe më pas tre numra) . Sa numra të tillë ka?
- Sa diagonale ka në një konveks n- katror?
- Sa gjëra ka? n-numrat dixhitalë?
- Sa numra dhjetëshifrorë ka që kanë të paktën dy shifra identike?
- Zari hidhet tri herë. Ndër të gjitha sekuencat e mundshme të rezultateve, ka nga ato në të cilat një gjashtë është mbështjellë të paktën një herë. Sa janë atje?
- Sa numra pesëshifrorë kanë shifrën 1 në shënimin e tyre?
- Në sa mënyra mund të vendosen mbretërit bardh e zi në një tabelë shahu pa goditur njëri-tjetrin?
- Sa pjesëtues ka numri 10800?
1. Sa numra të ndryshëm katërshifrorë ka që përdorin vetëm shifra çift?
Zgjidhja:
1) shifra e parë mund të jetë çdo shifër çift përveç zeros (përndryshe numri nuk do të jetë katërshifror) - këto janë 2, 4, 6 ose 8, 4 opsione në total
Opsionet |
2) supozojmë se është zgjedhur shifra e parë; Pavarësisht nga kjo, vendi i dytë mund të jetë cilido nga numrat çift - 0, 2, 4, 6 ose 8, gjithsej 5 opsione:
Opsionet |
3) në mënyrë të ngjashme ne gjejmë se dy shifrat e fundit gjithashtu mund të zgjidhen në 5 mënyra secila, pavarësisht nga njëra-tjetra dhe nga shifrat e tjera (e para dhe e dyta):
Opsionet |
4) numri i përgjithshëm i kombinimeve është i barabartë me produktin
4,5,5,5 = 500
5) Pra, përgjigja e saktë është 3.
2. Sa numra katërshifrorë ka në të cilët të gjitha shifrat janë të ndryshme?
Zgjidhja:
1) shifra e parë mund të jetë çdo numër përveç zeros (përndryshe numri nuk do të jetë katërshifror), 9 opsione gjithsej
Opsionet |
2) supozojmë se shifra e parë x përzgjedhur; Çdo numër mund të jetë në vendin e dytë y, përveç x, gjithsej 9 opsione (zero mund të jetë gjithashtu!):
Opsionet |
3) shifra e tretë z mund të jetë çdo, përveç dy që janë tashmë në dy vendet e para, ka 8 opsione në total:
Opsionet |
4) më në fund, shifra e katërt mund të jetë ndonjë nga 7 të mbetura (jo e barabartë x, y Dhe z)
Opsionet |
5) numri i përgjithshëm i kombinimeve është i barabartë me produktin
9 9 8 7 = 4536
6) Pra, përgjigja e saktë është 2.
3. Sa numra të ndryshëm katërshifrorë ka që kanë saktësisht dy nëntë pranë njëri-tjetrit?
Zgjidhja:
1) janë të mundshme tre raste: 99··, ·99· dhe ··99, ku pika e trashë tregon një numër jo të barabartë me 9
2) për secilin nga këto raste ju duhet të numëroni numrin e opsioneve dhe të shtoni këto numra
3) në opsionin 99··, dy shifrat e fundit mund të jenë çdo gjë përveç nëntë (9 opsione secila):
Opsionet |
pra në total marrim 1 1 9 9 = 81 opsione
4) në opsionin ·99· shifra e parë nuk mund të jetë zero dhe nëntë (8 opsione mbeten), dhe shifra e fundit mund të jetë çdo gjë përveç nëntë (9 opsione):
Opsionet |
pra në total marrim 8 1 1 9 = 72 opsione
5) në opsionin ··99, shifra e parë nuk mund të jetë zero dhe nëntë (8 opsione mbeten), dhe shifra e fundit mund të jetë çdo gjë përveç nëntë (9 opsione):
Opsionet |
pra ne total marrim 8 9 1 1 = 72 opsione
6) numri i përgjithshëm i opsioneve është i barabartë me shumën
81 + 72 + 72 = 225
4. Sa numra të ndryshëm katërshifrorë ka që nuk kanë më shumë se dy shifra të ndryshme?
Zgjidhja:
1) le të shënojmë shifrën e parë me x, nuk mund të jetë zero, kështu që ka 9 zgjedhje të mundshme
Opsionet |
2) shënojmë një numër tjetër me y, mund të zgjidhet gjithashtu në 9 mënyra (mund të jetë zero, por nuk mund të jetë e barabartë x)
3) tre raste duhet të shqyrtohen veçmas: xy··, xxy· Dhe xxx·; për secilin nga këto raste ju duhet të numëroni numrin e opsioneve dhe të shtoni këta numra
4) në opsion xy·· dy shifrat e fundit mund të zgjidhen (në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra) të jenë të barabarta x ose y(2 zgjedhje secila):
x ose y | x ose y |
|||
Opsionet |
pra ne total marrim 9 9 2 2 = 324 opsione
5) në opsion xxy· shifra e fundit mund të jetë vetëm e barabartë me x ose y(2 opsione):
x ose y |
||||
Opsionet |
pra në total marrim 9 1 9 2 = 162 opsione
6) në opsion xxx· shifra e fundit mund të jetë çdo (10 opsione):
x ose y |
||||
Opsionet |
pra ne total marrim 9 1 1 10 = 90 opsione
7) numri i përgjithshëm i opsioneve është i barabartë me shumën
324 + 162 + 90 = 576
8) Pra, përgjigja e saktë është 3.
5. Sa numra të ndryshëm katërshifrorë ka në të cilët të gjitha shifrat janë tek dhe të paktën njëra prej tyre është e barabartë me 5?
Zgjidhja (opsioni 1):
1) shqyrtoni katër opsione: 5···, ·5··, ··5· dhe ···5; për secilin nga këto raste ju duhet të llogaritni numrin unike opsionet (duke përjashtuar të gjitha ato të zakonshmet!) dhe shtoni këta numra
2) në rastin e 5···, tre shifrat e fundit mund të jenë çdo tek (5 zgjedhje të pavarura secila):
Opsionet |
pra ne total marrim 1 5 5 5 = 125 opsione
3) në pamje të parë, për rastin ·5·· situata është e njëjtë, por nuk është kështu; Fakti është se disa nga këto opsione (me 5 në vend të parë) tashmë janë përfshirë në grupin e parë 5···, kështu që nuk ka nevojë të merren parasysh për herë të dytë; kjo do të thotë që vendi i parë mund të jetë një nga 4 shifrat - 1, 3, 7 ose 9:
Opsionet |
gjithsej marrim 4 1 5 5 = 100 opsione
4) duke marrë parasysh rastin ··5·, ju duhet të hidhni jashtë të gjitha opsionet në të cilat pesëshe janë në dy vendet e para
Opsionet |
në total marrim 4 4 1 5 = 80 opsione
5) për ··5· marrim në mënyrë të ngjashme
Opsionet |
në total marrim 4 4 4 1 = 64 opsione
6) numri i përgjithshëm i opsioneve
125 + 100 + 80 + 64 = 369 opsione
7) Pra, përgjigja e saktë është 2.
Zgjidhja (opsioni 2):
1) të gjithë numrat që përbëhen vetëm nga shifra tek mund të ndahen në dy grupe: ata që përmbajnë një pesë dhe ata që nuk përmbajnë
2) ne gjejmë numrin e përgjithshëm të numrave të përbërë vetëm nga shifra tek, në mënyrë të ngjashme me problemin e parë të shqyrtuar; duke marrë parasysh se mes tyre nuk ka zero, marrim
5 5 5 5 = 625 opsione
3) tani, në mënyrë të ngjashme, do të gjejmë numrin e numrave që përbëhet vetëm nga numrat 1, 3, 7 dhe 9 (pa pesë); meqenëse secili nga 4 vendet mund të përmbajë një nga 4 shifrat, marrim
4·4·4·4 = 256 opsione
4) rezultati që na nevojitet është ndryshimi
625 – 256 = 369 opsione
5) Pra, përgjigja e saktë është 2.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
1) Sa numra katërshifrorë ka që kanë saktësisht dy tetë që nuk janë fqinjë?
2) Sa numra katërshifrorë janë bërë nga shifra të ndryshme çift?
3) Sa numra katërshifrorë ka që kanë të paktën një shifër çift?
4) Sa numra katërshifrorë janë të plotpjesëtueshëm me 5?
5) Sa numra katërshifrorë ka, jo më shumë se 3000, në të cilët ka saktësisht dy shifra "3"?
6) Në kampionatin e shahut morën pjesë 40 sportistë. Secili luajti një lojë me njëri-tjetrin. Sa ndeshje janë luajtur gjithsej?
7) Ka një mollë, një dardhë, një pjeshkë dhe një kajsi në një vazo. Katya u lejua të zgjidhte dy fruta. Sa opsione ka Katya?
9) Sa numra katërshifrorë ka që lexohen njësoj “nga e majta në të djathtë” dhe “nga e djathta në të majtë”?
10) Një zinxhir prej tre rruazash formohet sipas rregulli tjetër: Në radhë të parë në zinxhir është një nga rruazat A, B, C. Në vendin e dytë është një nga rruazat B, C, D. Në vendin e tretë është një nga rruazat A, C, D, jo në vendin e parë ose të dytë në zinxhir . Sa zinxhirë të tillë ka gjithsej?
Në këtë problem ju duhet të përcaktoni sa numra katërshifrorë ka.
Numri i numrave katërshifrorë
- Le të përcaktojmë sa numra katërshifrorë ka.
- Një numër katërshifror është një numër që përbëhet nga katër shifra: njësi, dhjetëshe, qindra dhe mijëra. Me fjalë të thjeshta Një numër katërshifror është një numër që përbëhet nga saktësisht katër shifra.
- Numri i parë katërshifror i njohur është 1000.
- Numri i fundit katërshifror i njohur është 9999.
- Gjeni numrin e numrave katërshifrorë. Ekzistojnë dy mundësi: 999 numrat e parë natyrorë zbriten nga numri i fundit katërshifror (9999). Ne marrim: 9999 - 999 = 9000.
- Metoda e dytë: 9999 - 1000 + 1 = 9009. Shtojmë një, pasi një mijë është gjithashtu një numër katërshifror dhe thjesht duke e zbritur atë, e humbasim nga totali.
- Ju gjithashtu mund të përcaktoni numrin e përgjithshëm të shifrave.
Përcaktoni numrin e shifrave
U bë e ditur se një numër katërshifror përbëhet nga 4 shifra, me fjalë të tjera, 4 shifra. Gjithashtu u vlerësua se njihen 9000 numra katërshifrorë. Pastaj marrim: 9000 * 4 = 36000.
Përgjigje: Janë gjithsej 9000 numra katërshifrorë dhe nëse i shkruani të gjithë me radhë do të merrni 36000 shifra.
Problema 4. Sa numra çift dyshifrorë me shifra të ndryshme ka?
Zgjidhje. Le të jetë α = α1 α2 një numër çift dyshifror në të cilin të gjitha shifrat janë të ndryshme. Pastaj α2 (0,2,4,6,8) dhe α 1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\(α 2 }.
Nëse α1 është një shifër tek, d.m.th. α1 (1, 3, 5, 7, 9), gjejmë se shifra e parë e α1 mund të zgjidhet në 5 mënyra.
Sa herë që zgjidhet shifra e parë α1, shifra e dytë α2 mund të zgjidhet në 5 mënyra.
Duke përdorur rregullin e prodhimit, gjejmë se ka 5 5 = 25 numra dyshifrorë çift, shifra e parë e të cilëve është tek.
Nëse α1 është një shifër çift, atëherë α1 (2, 4, 6, 8) dhe α 2 (0, 2, 4, 6, 8) \ (α 1), d.m.th. elementi α2 mund të zgjidhet në 4 mënyra.
Sipas rregullit të prodhimit, numri α mund të zgjidhet në 4 4 = 16 mënyra.
Detyra 5. Sa numra katërshifrorë ka? pjesëtueshëm me 5, të gjitha shifrat e kujt janë të ndryshme?
Zgjidhje. Le të jetë A =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) një grup shifrash, α= α1 α2 α3 α4 një numër katërshifror, ku α1 A\(0) ,
α4 (0,5)\(α1),α2 A\(α1,α4),α3 A\(α1,α2,α4).
Nëse α4 =0, atëherë α1 mund të zgjidhet në 9 mënyra, α2 mund të zgjidhet në 8 mënyra dhe α3 mund të zgjidhet në 7 mënyra. Duke përdorur rregullin e produktit, gjejmë se numri
α mund të merret në 9 8 7 = 504 mënyra. Nëse α 4 =5, pastaj α1 A\(0, 5 ), d.m.th. shifra α1 mund të jetë
e zgjedhur në 8 mënyra, shifra α2 mund të zgjidhet gjithashtu në 8 mënyra, dhe α3 në 7 mënyra. Sipas rregullit të produktit
gjejmë se numri α mund të zgjidhet në 8 8 7 = 448 mënyra.
Kështu, duke përdorur rregullin e shumës, gjejmë se ka 504 + 448 = 952 numra katërshifrorë të pjesëtueshëm me 5, të cilët të gjithë kanë shifra të ndryshme.
I njëjti problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër.
Konsideroni një numër çift dyshifror α = α1 α2, ku α1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) dhe α 2 (0, 2, 4, 6, 8).
Klubi i klasës së 5-të
Drejtuesit Dmitry Vladimirovich Trushchin dhe Mikhail Vladimirovich Sheblaev
Viti akademik 2012/2013
Kombinatorika (17 nëntor 2012)
Dyqani shet pesë lloje gotash dhe tre lloje disqesh. Në sa mënyra mund të zgjidhni filxhanin dhe pjatën tuaj? Sa numra katërshifrorë ka që përmbajnë a) vetëm shifra çift; b) të paktën një shifër çift?Zgjidhje.
a) Le të vendosim së pari gurin e zi. Kjo mund të bëhet në 8 · 8 = 64 mënyra. Për të parandaluar që roku i bardhë ta rrahë, duhet ta vendosni në një rang dhe skedar tjetër, domethënë do të ketë 8 - 1 = 7 grada të lira për të, dhe 8 - 1 = 7 vertikale gjithashtu vendosni një gur të bardhë me një të zezë të vendosur tashmë 7 · 7 = 49 mënyra. Meqenëse për secilën nga 64 mënyrat për të vendosur një gur të zi do të ketë 49 mënyra për të vendosur një gur të bardhë, atëherë numri i përgjithshëm i mënyrave për të vendosur të dyja do të jetë 64 · 49 = 3136.
b) Le të vendosim në fillim mbretin e zi. Sa mënyra do të mbeten më pas për vendosjen e bardhë? Le të shohim raste të ndryshme:
Më tej, nëse mbreti i zi është në buzë të tabelës (jo në qoshe), atëherë e bardha nuk mund të vendoset në 6 qeliza, domethënë mund të bastni në 64 - 6 = 58 qeliza. Në secilën nga 4 anët e tabelës ka 8 - 2 = 6 sheshe, ku mbreti i zi do të qëndrojë në buzë, por jo në qoshe, domethënë, në total do të ketë 4 6 58 = 1392 opsione të tilla për duke vendosur të dy mbretërit.
