Funksioni i kërkimit x 1 x 1 2. Shënimet e mia të aftë të udhëtimit. Gjetja e fushës së përkufizimit

Zgjidhës Kuznetsov.
III Grafikët

Detyra 7. Kryeni një studim të plotë të funksionit dhe ndërtoni grafikun e tij.

        Përpara se të filloni të shkarkoni opsionet tuaja, provoni ta zgjidhni problemin sipas shembullit të dhënë më poshtë për opsionin 3. Disa nga opsionet janë arkivuar në formatin .rar

        7.3 Kryeni një studim të plotë të funksionit dhe vizatoni atë

Zgjidhje.

        1) Fusha e përkufizimit:         ose        , që është        .
.
Kështu:         .

        2) Nuk ka pika kryqëzimi me boshtin Ox. Në të vërtetë, ekuacioni         nuk ka zgjidhje.
Nuk ka pika kryqëzimi me boshtin Oy, pasi        .

        3) Funksioni nuk është as çift dhe as tek. Nuk ka simetri rreth boshtit të ordinatave. Nuk ka as simetri për origjinën. Sepse
.
Ne shohim se         dhe        .

        4) Funksioni është i vazhdueshëm në fushën e përkufizimit
.

; .

; .
Rrjedhimisht, pika         është një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë (ndërprerje e pafundme).

5) Asimptota vertikale:       

Le të gjejmë asimptotën e zhdrejtë        . Këtu

;
.
Rrjedhimisht, kemi një asimptotë horizontale: y=0. Nuk ka asimptota të zhdrejtë.

        6) Le të gjejmë derivatin e parë. Derivati ​​i parë:
.
Dhe ja pse
.
Le të gjejmë pika të palëvizshme ku derivati ​​është i barabartë me zero, d.m.th
.

        7) Le të gjejmë derivatin e dytë. Derivati ​​i dytë:
.
Dhe kjo është e lehtë për t'u verifikuar, pasi

Nëse problemi kërkon një studim të plotë të funksionit f (x) = x 2 4 x 2 - 1 me ndërtimin e grafikut të tij, atëherë do ta shqyrtojmë këtë parim në detaje.

Për të zgjidhur një problem të këtij lloji, duhet të përdorni vetitë dhe grafikët e funksioneve themelore elementare. Algoritmi i kërkimit përfshin hapat e mëposhtëm:

Gjetja e fushës së përkufizimit

Meqenëse hulumtimi kryhet në fushën e përcaktimit të funksionit, është e nevojshme të fillohet me këtë hap.

Shembulli 1

Shembulli i dhënë përfshin gjetjen e zerove të emëruesit në mënyrë që të përjashtohen ato nga ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Si rezultat, ju mund të merrni rrënjë, logaritme, etj. Pastaj ODZ mund të kërkohet për një rrënjë të një shkalle çift të tipit g (x) 4 nga pabarazia g (x) ≥ 0, për logaritmin log a g (x) nga pabarazia g (x) > 0.

Studimi i kufijve të ODZ dhe gjetja e asimptotave vertikale

Ka asimptota vertikale në kufijtë e funksionit, kur kufijtë e njëanshëm në pika të tilla janë të pafundme.

Shembulli 2

Për shembull, merrni parasysh pikat kufitare të barabarta me x = ± 1 2.

Pastaj është e nevojshme të studiohet funksioni për të gjetur kufirin e njëanshëm. Atëherë marrim se: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Kjo tregon se kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se drejtëzat x = ± 1 2 janë asimptota vertikale të grafikut.

Studimi i një funksioni dhe nëse është çift apo tek

Kur kushti y (- x) = y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet çift. Kjo sugjeron që grafiku ndodhet në mënyrë simetrike në lidhje me Oy. Kur kushti y (- x) = - y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet tek. Kjo do të thotë se simetria është relative me origjinën e koordinatave. Nëse të paktën një pabarazi nuk plotësohet, marrim një funksion të formës së përgjithshme.

Barazia y (- x) = y (x) tregon se funksioni është çift. Gjatë ndërtimit, është e nevojshme të merret parasysh se do të ketë simetri në lidhje me Oy.

Për të zgjidhur pabarazinë, përdoren intervalet e rritjes dhe zvogëlimit me kushtet f " (x) ≥ 0 dhe f " (x) ≤ 0, përkatësisht.

Përkufizimi 1

Pikat e palëvizshme- këto janë pikat që e kthejnë derivatin në zero.

Pikat kritike- këto janë pika të brendshme nga fusha e përkufizimit ku derivati ​​i funksionit është i barabartë me zero ose nuk ekziston.

Kur merrni një vendim, duhet të merren parasysh shënimet e mëposhtme:

• për intervalet ekzistuese të pabarazive në rritje dhe në ulje të formës f " (x) > 0, pikat kritike nuk përfshihen në zgjidhje;
• pikat në të cilat funksioni është përcaktuar pa një derivat të fundëm duhet të përfshihen në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit (për shembull, y = x 3, ku pika x = 0 e bën funksionin të përcaktuar, derivati ​​ka vlerën e pafundësisë në këtë pika, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 përfshihet në intervalin në rritje);
• Për të shmangur mosmarrëveshjet, rekomandohet përdorimi i literaturës matematikore të rekomanduar nga Ministria e Arsimit.

Përfshirja e pikave kritike në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit nëse ato plotësojnë domenin e përcaktimit të funksionit.

Përkufizimi 2

Për Përcaktimi i intervaleve të rritjes dhe uljes së një funksioni, është e nevojshme të gjendet:

• derivat;
• pikat kritike;
• ndani domenin e përkufizimit në intervale duke përdorur pikat kritike;
• përcaktoni shenjën e derivatit në secilin prej intervaleve, ku + është një rritje dhe - është një rënie.

Shembulli 3

Gjeni derivatin në domenin e përkufizimit f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Zgjidhje

Për të zgjidhur ju duhet:

• gjeni pika të palëvizshme, ky shembull ka x = 0;
• gjeni zerot e emëruesit, shembulli merr vlerën zero në x = ± 1 2.

Vendosim pika në boshtin e numrave për të përcaktuar derivatin në çdo interval. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh çdo pikë nga intervali dhe të kryesh një llogaritje. Në rezultat pozitiv Në grafik ne përshkruajmë +, që do të thotë se funksioni po rritet, dhe - do të thotë se po zvogëlohet.

Për shembull, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, që do të thotë se intervali i parë në të majtë ka një shenjë +. Merrni parasysh vijën numerike.

Përgjigje:

• funksioni rritet në intervalin - ∞; - 1 2 dhe (- 1 2 ; 0 ] ;
• ka një ulje të intervalit [0; 1 2) dhe 1 2 ; + ∞ .

Në diagram, duke përdorur + dhe -, përshkruhen pozitiviteti dhe negativiteti i funksionit, dhe shigjetat tregojnë ulje dhe rritje.

Pikat ekstreme të një funksioni janë pikat ku përcaktohet funksioni dhe përmes të cilave derivati ​​ndryshon shenjën.

Shembulli 4

Nëse marrim parasysh një shembull ku x = 0, atëherë vlera e funksionit në të është e barabartë me f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kur shenja e derivatit ndryshon nga + në - dhe kalon në pikën x = 0, atëherë pika me koordinata (0; 0) konsiderohet pika maksimale. Kur shenja ndryshon nga - në +, marrim një pikë minimale.

Konveksiteti dhe konkaviteti përcaktohen duke zgjidhur pabarazitë e formës f "" (x) ≥ 0 dhe f "" (x) ≤ 0. Më pak i përdorur është emri konveksitet poshtë në vend të konkavitetit, dhe konveksitet lart në vend të konveksitetit.

Përkufizimi 3

Për përcaktimi i intervaleve të konkavitetit dhe konveksitetit nevojshme:

• gjeni derivatin e dytë;
• gjeni zerot e funksionit të dytë derivat;
• ndani zonën e përkufizimit në intervale me pikat që shfaqen;
• përcaktoni shenjën e intervalit.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e dytë nga fusha e përkufizimit.

Zgjidhje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Gjejmë zerot e numëruesit dhe të emëruesit, ku në shembullin tonë kemi se zerot e emëruesit x = ± 1 2

Tani ju duhet të vizatoni pikat në vijën numerike dhe të përcaktoni shenjën e derivatit të dytë nga çdo interval. Ne e kuptojmë atë

Përgjigje:

• funksioni është konveks nga intervali - 1 2 ; 1 2 ;
• funksioni është konkav nga intervalet - ∞ ; - 1 2 dhe 1 2; + ∞ .

Përkufizimi 4

Pika e lakimit– kjo është një pikë e formës x 0 ; f (x 0) . Kur ka një tangjente me grafikun e funksionit, atëherë kur kalon në x 0 funksioni ndryshon shenjën në të kundërtën.

Me fjalë të tjera, kjo është një pikë nëpër të cilën kalon derivati ​​i dytë dhe ndryshon shenjën, dhe në vetë pikat është e barabartë me zero ose nuk ekziston. Të gjitha pikat konsiderohen të jenë domeni i funksionit.

Në shembull, ishte e qartë se nuk kishte pika lakimi, pasi derivati ​​i dytë ndryshon shenjën ndërsa kalon nëpër pikat x = ± 1 2. Ata, nga ana tjetër, nuk përfshihen në fushën e përkufizimit.

Gjetja e asimptotave horizontale dhe të zhdrejta

Kur përcaktoni një funksion në pafundësi, duhet të kërkoni asimptota horizontale dhe të zhdrejta.

Përkufizimi 5

Asimptota të zhdrejta janë paraqitur duke përdorur drejtëza të dhëna nga ekuacioni y = k x + b, ku k = lim x → ∞ f (x) x dhe b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Për k = 0 dhe b jo të barabartë me pafundësinë, gjejmë se asimptota e zhdrejtë bëhet horizontale.

Me fjalë të tjera, asimptotat konsiderohen si vija të cilave grafiku i një funksioni afrohet në pafundësi. Kjo lehtëson ndërtimin e shpejtë të një grafiku funksioni.

Nëse nuk ka asimptota, por funksioni është i përcaktuar në të dyja pafundësitë, është e nevojshme të llogaritet kufiri i funksionit në këto pafundësi për të kuptuar se si do të sillet grafiku i funksionit.

Shembulli 6

Le ta konsiderojmë si shembull atë

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

është një asimptotë horizontale. Pasi të keni ekzaminuar funksionin, mund të filloni ta ndërtoni atë.

Llogaritja e vlerës së një funksioni në pikat e ndërmjetme

Për ta bërë grafikun më të saktë, rekomandohet të gjeni disa vlera funksioni në pikat e ndërmjetme.

Shembulli 7

Nga shembulli që shqyrtuam, është e nevojshme të gjejmë vlerat e funksionit në pikat x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Meqenëse funksioni është i barabartë, marrim që vlerat përkojnë me vlerat në këto pika, domethënë, marrim x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Le të shkruajmë dhe zgjidhim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Për të përcaktuar maksimumin dhe minimumin e funksionit, pikat e lakimit dhe pikat e ndërmjetme, është e nevojshme të ndërtohen asimptota. Për përcaktim të përshtatshëm, regjistrohen intervalet e rritjes, zvogëlimit, konveksitetit dhe konkavitetit. Le të shohim foton më poshtë.

Është e nevojshme të vizatoni linja grafike nëpër pikat e shënuara, të cilat do t'ju lejojnë t'i afroheni asimptotave duke ndjekur shigjetat.

Kjo përfundon eksplorimin e plotë të funksionit. Ka raste të ndërtimit të disa funksioneve elementare për të cilat përdoren shndërrime gjeometrike.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Prej disa kohësh, baza e të dhënave e integruar e certifikatave për SSL ka ndaluar së punuari si duhet në TheBat (nuk është e qartë për çfarë arsye).

Kur kontrolloni postimin, shfaqet një gabim:

Certifikatë e panjohur CA
Serveri nuk paraqiti një certifikatë rrënjësore në seancë dhe certifikata përkatëse rrënjësore nuk u gjet në librin e adresave.
Kjo lidhje nuk mund të jetë e fshehtë. Ju lutem
kontaktoni administratorin e serverit tuaj.

Dhe ju ofrohet një zgjedhje e përgjigjeve - PO / JO. Dhe kështu çdo herë që hiqni postën.

Zgjidhje

Në këtë rast, duhet të zëvendësoni standardin e zbatimit S/MIME dhe TLS me Microsoft CryptoAPI në cilësimet e TheBat!

Meqenëse më duhej të kombinoja të gjithë skedarët në një, fillimisht konvertova gjithçka skedarë doc në një skedar të vetëm pdf (duke përdorur programin Acrobat), dhe më pas e transferoi atë në fb2 përmes një konverteri në internet. Ju gjithashtu mund të konvertoni skedarë individualisht. Formatet mund të jenë absolutisht çdo (burim) - doc, jpg, madje edhe një arkiv zip!

Emri i faqes korrespondon me thelbin :) Online Photoshop.

Përditësimi maj 2015

Gjeta një faqe tjetër të mrekullueshme! Edhe më i përshtatshëm dhe funksional për krijimin e një kolazhi krejtësisht të personalizuar! Ky është faqja http://www.fotor.com/ru/collage/. Shijojeni për shëndetin tuaj. Dhe unë do ta përdor vetë.

Në jetën time hasa problemin e riparimit të një sobë elektrike. Unë kam bërë tashmë shumë gjëra, kam mësuar shumë, por disi kam pasur pak lidhje me pllakat. Ishte e nevojshme të zëvendësoheshin kontaktet në rregullatorë dhe djegës. U ngrit pyetja - si të përcaktohet diametri i djegësit në një sobë elektrike?

Përgjigja doli të jetë e thjeshtë. Ju nuk keni nevojë të matni asgjë, mund të përcaktoni lehtësisht me sy se çfarë madhësie ju nevojitet.

Djegësi më i vogël- kjo është 145 milimetra (14,5 centimetra)

Djegësi i mesëm- kjo është 180 milimetra (18 centimetra).

Dhe së fundi, më së shumti djegës i madh- kjo është 225 milimetra (22.5 centimetra).

Mjafton të përcaktoni madhësinë me sy dhe të kuptoni se çfarë diametri keni nevojë për djegësin. Kur nuk e dija këtë, shqetësohesha për këto dimensione, nuk dija si të masja, në cilin skaj të lundroja, etj. Tani jam i urtë :) Shpresoj se të kam ndihmuar edhe ty!

Në jetën time jam përballur me një problem të tillë. Mendoj se nuk jam i vetmi.